2018江苏奥数夏令营——平面几何(教师版)2018年6月25日(8)

SCAOT

【析】如图，设?ABC的三边分别为a，b，c，圆O是以BC为直径的圆，AT切圆O于T点. （由AO垂直平分ST可知目标圆圆心在AO上，同理其他两组也在对应中线上，所以探究重心是可行的了）

B

连AO，在AO 上取点G使得AG=2GO，则G为?ABC的重心，连结OT，GT，由

AO?12b2?2c2?a2, 2TG2?OT2?OG2?2OT?OG?cos?TOA

OT11及cos?TOA?,OT?a,OG?OA,

OA23121有TG2?(a?b2?c2)为定值，同理其他五个切点到G的距离的平方均为(a2?b2?c2)，

1818证毕.

39. 证明：任意三角形的垂心H、重心G和外心O三点共线，且HG=2GO.

COHGAMB

法1：如图1，设M为AB中点，连结CM，则G在CM上，且CG=2GM，连结OM，则OM垂直平分AB，延长OG到H，使得H'G?2GO，连结CH'，因为?CGH'??MGO，所以?CH'G～

'?MOG，从而CH'//OM，即CH'?AB，同理，AH'?BC，即H'为垂心，命题得证.

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CCNGHOMBH'AGOA

法2：如图2，作出圆O，连结AO并延长交圆O于点N，连结NB，NC，BH， HG，GO，因为NB?AB,CH?AB，所以NB//CH，同理，NC//BH

所以四边形HBNC是平行四边形. 所以CH=NB，又因为OM是?ABN的中位线，所以

MBOM:NB?1:2，所以OM:CH?1:2

??HCG??OMG,GM:GC?1:2??CHG～?MOG

??CGH??MGO所以O，G，H三点共线且HG=2GO.

40. 已知△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，△DEF是△ABC的任意内接三角形，试以a，b，c

表示△DEF的三边平方和的最小值.

AFEBDC

【析】首先，证明一个结论：

若G为?ABC内的任意一点，G到三边BC，CA，AB的距离分别为x，y，z，则当x:y:z?a:b:c时，

(x2?y2?z2)(a2?b2?c2)?(ax?by?cz)2?4S?ABC 4S所以x?y?z的最小值为2?ABC 22a?b?c22222

设G为?DEF的重心，则由中线长公式可知

11GD2?[2(DE2?DF2)?EF2],GE2?[2(DE2?EF2)?DF2]

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1GF2?[2(EF2?DF2)?DE2]

9三式相加得DE?EF?FD?3(GD?GE?GF)

从G点向?ABC的三边BC，AC，AB引垂线，垂足分别为D0,E0,F0，则

222222DE2?EF2?FD2?3(GD0?DD0?GE0?EE0?GF0?FF0

22222212SABC ?3(GD0?GE0?GF0)?2?2a?b?c2222238 / 137

4.4 三角形的垂心

三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心. 性质1：设H为?ABC的垂心，则

?BHC?180???A,?CHA?180???B,?AHB?180???C 性质2：设H为?ABC的垂心，则H，A，B，C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（这

样的四点组为一垂心组，且一个垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组） 性质3：设H为?ABC的垂心，则

①H关于三边的对称点均在?ABC的外接圆上 ②?ABC,?ABH,?BCH,?ACH的外接圆是等圆 ③H关于三边中点的对称点均在?ABC的外接圆上

性质4：在?ABC中，H是垂心，L，M，N分别为BC，CA，AB的中点，D，E，F分别为三高之垂足，P，Q，R分别是AH，BH，CH的中点，则L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆，称为?ABC的九点圆. 41. △ABC的外心O与垂心H的连线段的中点恰是九点圆圆心. 证明：九点圆半径是其外接圆

半径的一半.

AOHCB 【分析】如图，连结NP，LR，PR，NL，PL因为NP是△ABH的中位线，所以NP//BH，而NL是△ABC的中位线

则NL//AC，所以NP⊥NL;同理，NP⊥PR，RL⊥NL，RL⊥PR，所以四边形PNLR是矩形，所以P，N，L，R共圆且以NR为直径，易知点F也在这个圆上，又因为PL也是该圆的直径，所以点D也在该圆上连结PM，LM，由PM//CH，LM//AB可知PM⊥LM，所以M也在该圆上，连结PQ，LQ可知PQ⊥LQ，所以Q也在该圆上，由QM也是圆的直径可知点E也在该圆上.

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如图，由四边形HCXB是平行四边形可知，A，O，X三点共线

1AH?OL 2且因为PH//OL，则?HPT??OLT,?PHT??LOT

且Y，H，L，X 四点共线，由欧拉线性质可知PH?所以PL与OH的交点T恰好平分OH（?PHT??LOT） 所以T也是PL中点，恰好也是九点圆圆心，同时由于 PL是?HAX的中位线，可得出TP?1OA 2

【注】由图中连线及推出的比例关系可知AL连线与OH的交点为

?ABC的重心G，且G就是外接圆和九点圆的内位似中心

而H是外位似中心.

42. 设△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F. 求证：△ABC的外心O、内心I、

△DEF的垂心H三点共线.

AFOBEIHDC

【析】连结AI并延长交圆O于点M，连结OM，DH，ID

OI，IH，要证O，I，H三点共线，因为IM//DH，所以只要?OIH??IHD即可. 而ID//OM，所以转化为去证明

?OIM~?IHD

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