2018江苏奥数夏令营——平面几何(教师版)2018年6月25日(2)

所以

定差幂线定理知

，即，由

7. 若点P在△ABC三边BC、CA、AB所在直线上的射影分别为X、Y、Z. 证明：自YZ、ZX、

XY的中点分别向BC、CA、AB所作的垂线共点.

AZ'ZEBXPDMFX'CYY' 12证明：由三角形中线长公式，有ma?(b2?c2)?4a2.

2由DX?⊥BC，EY?⊥CA，FZ?⊥AB， 则

X?B2?X?C2?BD2?CD2

111?1??(BZ2?BY2)?YZ2??(CY2?CZ2)?YZ2?

424?2?1?(BY2?BZ2?CY2?CZ2). 21同理， Y?C2?Y?A2?(CZ2?CX2?AZ2?AX2)

21Z?A2?Z?B2?(AX2?AY2?BX2?BY2).

2以上三式相加，得

X?B2?X?C2?Y?C2?Y?A2?Z?A2?Z?B2

?1(XC2?XB2?YA2?YC2?ZB2?ZA2). 2因为

以上三式相加得

，由定差幂线定理可得：

所以X?B2?X?C2?Y?C2?Y?A2?Z?A2?Z?B2=0（*） 设

与

交于M点，则由定差幂线定理可得

代入（*）得即所以

、

、

三线共点.

所以M在过引AB的垂线上，

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8. 以锐角△ABC的一边AC为直径作圆，分别与AB、BC交于点K、L，CK、AL分别与△ABC的

外接圆交于点F、D (F≠C，D≠A)，E为劣弧AC上一点，BE与AC交于点N. 若AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2. 求证：∠KNB?∠BNL.

ENHACDLKFB

证明 如图，由于以AC为直径的圆分别与AB、BC交于点K，L，则CK⊥AB，AL⊥BC. 设CK与AL交于点H，则H为△ABC的垂心，故点H与F关于AB对称，点H与D关于BC对称. 从而，AF?AH，CD?CH，BD?BH?BF. 由AF2?BD2?CE2?AE2?CD2?BF2，有 AH2?CE2?AE2?CH2.

即AH2?CH2?AE2?CE2. 由定差幂线定理知，HE⊥AC. 又注意到H为垂心，有BH⊥AC. 故知B、H、E三点共线. 因为N为边AC与BH的交点，则BN⊥AC. 故∠KNB?∠BNL.

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二、共边比例定理、分角张角

2.1 共边比例定理

9. 如图，△ABC中，DE∥BC，BE、CD交于P. 求证：直线AP平分BC和DE.

ADPBCE

【证明】设直线AP分别交BC、DE于M、H. 由共边定理，得所以

ADS△ACPAES△ABPADAE??，，而DE∥BC，则， ?BDS△BCPCES△CBPBDCES△ACPS△ABP?，则S△ACP?S△ABP. S△BCPS△CBPBMS△BAPBM?，所以?1，即BM?CM，所以M是BC的中点. CMS△CAPCM又由共边定理，得

又易知S△BPD?S△CPE，则S△DAP?S△EAP. 由共边定理，得

DHS△DAP??1，则DH?HE，所以H是DE的中点. HES△EAP故直线AP平分BC和DE.

ADHEPBMC

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10. 过圆外一点P引圆的两条切线和一条割线

. 求证：

.

，在

上取一点使

AQDB【证明】设

由共边比例定理，得：

A CP （

的高）

D Q C P B 又连接

，

11. 在

，

. 得

.

.

内任取一点P，连结PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点. 求证：

AZPBXC

Y证明：由共边比例定理知：

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12. 已知O是△ABC的内切圆，D、E、N分别为AB、AC、BC上的切点，连结NO并延长

交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M. 求证：M是BC的中点.

ADKEOB

证明:如图，联结OD，OE，由O、D、B、N及O、N、C、E分别四点共圆有?KOD=?B，?KOE??C.

DKS△ODKOD?OK?sin?DOKsin?DOKsinBAC由共边比例定理，有， ?????KES△OKEOE?OK?sin?KOEsin?KOEsinCAB及

DKS△ADKsin?DAK. ??KES△AEKsin?EAKBMS△ABMAB?sin?BAMAB?sin?DAKABDKABAC????????1. MCS△ACMAC?sin?CAMAC?sin?EAKACKEACABMNC于是，

故M是BC的中点.

ADKOBMNC

E

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