重庆市南开中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试(3)

sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin?B?C??2sinB，

asin?B?C??sinA，?sinA?2sinB，利用正弦定理化简可得a?2b，??2．

b15．【答案】等腰三角形或直角三角形

sin2AsinAcosBsinAcosB【解析】原式可化为2????sin2A?sin2B，

sinBcosAsinBsinBcosA?2A?2B或2A?2B??，解得A?B或A?B?故△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 故答案为等腰三角形或直角三角形． 16．【答案】

1n?1?3?2n?3? 4?． 2【解析】由a1?1，an?1?3an?1，可设an?1?t?3?an?t?， 即an?1?3an?2t，可得2t?1，即t?11?1?，则an?1??3?an??，

22?2?1?3?可得数列?an??是首项为，公比为3的等比数列，

2?2?即有an?13n?131??3，即an??3n?1?， 222231?3?32??211?3n?1??n??3n?1?2n?3?．

24可得数列?an?的前n项和Sn?故答案为

1n?1?3?2n?3?． 4

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）an?12?2n；（2）Sn??n2?11n，当n?5或6时，Sn最大为30． 【解析】（1）因为a1?10，S3?24，根据等差数列的通项公式得到an?12?2n． （2）根据等差数列的n项和公式得到Sn??n2?11n，当n?5或6时，Sn最大为30． 18．【答案】（1）a?3，b?23；（2）33． 2【解析】（1）因为sinB?2sinA，由正弦定理可得b?2a，

由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC，得9?a2?4a2?2a2，解得a2?3，

所以a?3，b?2a?23． （2）△ABC的面积S?11333absinC??3?23??． 222219．【答案】（1）an?2n；（2）Tn?2?n?2?n?N+?． 2n【解析】（1）∵a?b，∴Sn?2n?1?2， 当n?1时，a1?S1?2；

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n，而a1?S1?2满足上式，∴an?2n． （2）∵cn?n12n?1n1112n?1n，∴，两边同乘，得，两式相T????????T????????nn121222n?12n2222232n2n?2n1111nn?2减得：Tn??2?????n?n?1?1?n?1，

222222∴Tn?2?n?2?n?N+?． 2n20．【答案】120?；（2）3． 【解析】（1）

acos2C?2ccosAcosC?a?b?0，?2acos2C?2ccosAcosC?b?0，由正弦定理，

得2sinAcos2C?2sinCcosAcosC?sinB?0，?2cosCsin?A?C??sinB?0，即2cosCsinB?sinB?0， 0??B?180?，?sinB?0，?cosC??，?C?120?．

12（2）由正弦定理，得c?bsinC由余弦定理，得23?23，

sinB??2?a2?b2?2abcos120??a2?b2?ab?3ab，

?ab?4．（当且仅当a?b时等号成立） ?S△ABC?13absinC?ab?3． 2421．【答案】该船于11时18分到达岛．

【解析】在△ACD中，?CAD?30?，?ADC?135?， 根据正弦定理得，

CDADsin?CAD，即CD??AD．

sin?CADsin?ACDsin?ACD在△BCD中，?BCD?30?，?CBD?105?， 根据正弦定理得，即DB?BC?DBBCCD， ??sin?DCBsin?BDCsin?CBDsin?DCB?sin?BDCCD．

sin?CBD所以DB?BC?即DB?BC??sin?DCB?sin?BDC?sin?CADsin?CBDsin?ACDAD，

?sin30??sin45??sin30?sin105?sin15?AD??sin30??sin45??sin30?1sin30?2AD?1?2AD，

??从而，此船行驶DB和BC共需201?2分钟． 故由A岛出发至到达C岛全程需要50?202分钟．

即该船于11时18分到达岛．（说明：11时19分，也正确．） 22．【答案】（1）见解析；（2）1?1．

2n?n?1???【解析】（1）证明：2Sn?nan?n?n?1?，??n?2?an??n?1?an?1?1?n?2?，

??n?1?an?1?nan?1?n?1?，相减得：?n?1?an?1??n?2?an?nan??n?1?an?1，

?2?n?1?an??n?1?an?1??n?1?an?1?n?2?，?2an?an?1?an?1，

∴?an?为等差数列．

（2）解：2S1=a1?1，?a1?1，a2?2，d?1，

?an?n ?bn?n?211??，

n?n?1??2n2n?1?n2n?n?1???1??11??Tn???1?????????4??412???1??11． ??1????n?2n?1?n2n?n?1??2?n?1?????

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