2013年江苏省盐城市中考数学试卷及答案（Word解析版）(4)

考点： 几何变换综合题 分析： （1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD； （2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为； ． （3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan解答： 解：（1）猜想：BF=CD．理由如下： 如答图②所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点， ∴OB=OC，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点， ∴OF=OD，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． ∵在△BOF与△COD中， ∴△BOF≌△COD（SAS）， ∴BF=CD． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， ∴=tan30°=，∠BOC=90°． ∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， ∴=tan30°=∴==． ，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， ∵==，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴=． （3）如答图④所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点， ∴=tan，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点， ∴=tan∴=，∠DOF=90°． =tan． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF与△COD中， ∵==tan，∠BOF=∠COD， ∴△BOF∽△COD， ∴=tan． 点评： 本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究． 28．（12分）（2013?盐城）如图①，若二次函数y=

x+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），

2

B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C． （1）求b、c的值；

（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上； （3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题 分析： （1）利用待定系数法求出b，c的值； （2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y=x与x轴所夹锐角为60°，则可推出在Rt△CEK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标； （3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值． 解答： 2解：（1）∵点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y=x+bx+c上， ∴， 解得：b=﹣ ，c=﹣． （2）设点F在直线y=x上，且F（2，）． 如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=∴tan∠FOB==，∴∠FOB=60°． ，OH=2， ∴∠AOE=∠FOB=60°． 连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K． ∵点A、C关于y=x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°． ∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°． 在Rt△COK中，CK=OC?sin60°=2×∴C（1，﹣）． x﹣2=，OK=OC?cos60°=2×=1． 抛物线的解析式为：y=x﹣，当x=1时，y=﹣， ∴点C在所求二次函数的图象上． （3）假设存在． 如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===． 如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5． ==2． 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=∵点A、C关于y=∴CD=AD=2x对称， ，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=． 连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE． 在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四边形内角和等于360°） 即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°， ∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°． 又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形内角和定理） ∴∠AEP=∠CQE． 在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE， ∴△APE∽△CEQ， ∴，即：2， t+3=0， 或t=（t＞，故舍去） ． 整理得：2t﹣解得：t=∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=点评： 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点．试题的难点在于第（3）问，图形中线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关系，证明△APE∽△CEQ是解题关键．

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