精选2019版高考数学一轮复习矩阵与变换学案(3)

, 1 求逆矩阵与逆变换)

?21??1 1?

, 1) 已知矩阵A＝??，B＝??.求矩阵C，使得AC＝B.

?13??0－1?

解： 因为det（A）＝2×3－1×1＝5，

3－131

－

5555－1

所以A＝＝.

－1212

－

5555－1－1

由AC＝B，得（AA）C＝AB，

－1

所以C＝AB＝

3134 － 55?1 1?55

. ??＝

12?0－1?13－ －－5555变式训练

?21??x??4?－1

（2017·常州期末）已知矩阵A＝?，列向量X＝，B＝?????.若AX＝B，直接写出A，并求出X.

?32??y??7?

?21?? 2－1?－1

解：由A＝??，得A＝??.

?32??－3 2?

? 2－1??4??1?－1

由AX＝B，得X＝AB＝????＝??.

?－3 2??7??2?

, 2 求特征值与特征向量)

?31?

, 2) 求矩阵??的特征值及对应的特征向量.

?13?

?λ－3－1?22

解：特征多项式f（λ）＝??＝（λ－3）－1＝λ－6λ＋8.

?－1λ－3?

由f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.

?－x－y＝0，?? 1?

将λ1＝2代入特征方程组，得??x＋y＝0，可取??为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.

??－1??－x－y＝0

??x－y＝0，

同理，当λ2＝4时，由??x－y＝0，

?－x＋y＝0?

?1?

所以可取??为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.

?1?

?31?

综上所述，矩阵??有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；

13??

? 1??1?

属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ2＝4的一个特征向量为??.

?－1??1?

变式训练

?a3??1??8?

（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A＝??，若A??＝??，求矩阵A的特征值.

?2d??2??4?

?1??a3??1??a＋6??8?

解： 因为A??＝????＝??＝??，

?2??2d??2??2＋2d??4??a＋6＝8，?a＝2，???23?所以? 解得? 所以A＝??.

??2＋2d＝4，d＝1.21????

?λ－2－3?2

所以矩阵A的特征多项式为f（λ）＝?（λ－1）－6＝λ－3λ－4. ?＝（λ－2）

?－2λ－1?

令f（λ）＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵)

?33??1?

, 3) 已知矩阵A＝??.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??，属于特征值

?cd??1?

?

???????????????

????????????????

? 3?

1的一个特征向量为α2＝??，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.

?－2?

?1??

解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??，可得?

?1??? 3??3

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝??，可得?

?－2??c

??c＝2，?3 3??联立①②解得即A＝??， ?d＝4，?2 4??

33??1??1?

???＝6??，即c＋d＝6 ①. cd??1??1?3?? 3?? 3?

???＝??，即3c－2d＝－2 ②. d??－2??－2?

?2

3?所以A的逆矩阵是

?－1?3

备选变式（教师专享）

－

??. 1 ?2?

12

?1?

已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝??，并且在矩阵M对应的变换作用下将点（－1，

?1?

2）变换成（9，15），求矩阵M.

?ab??ab??1??1??3?

解： 设M＝??，则????＝3??＝??，

?cd??cd??1??1??3?

??a＋b＝3，故? ?c＋d＝3.?

??－a＋2b＝9，?ab??－1?? 9?

????＝??，故?

?－c＋2d＝15.?cd?? 2??15??

a＝－1，

??b＝4，

联立以上两个方程组解得?

c＝－3，??d＝6，

故M＝?

?－14?

?.

?－36?

, 4 特征值与特征向量的综合应用)

? 1 2??5?5

, 4) 已知矩阵A＝??，向量α＝??，计算Aα.

?－1 4??3?

?λ－1－2?2

解：因为f（λ）＝??＝λ－5λ＋6.

λ－4??1

由f（λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.

?2??1?

当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝??；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝??.

?1??1?

?m＝2，??5??2??1?

设??＝m??＋n??，解得?

?n＝1.?3??1??1??

21?371?55??5??所以Aα＝2×2??＋1×3??＝??. ?1??1??307?

变式训练

?2 m??1??0??1?2

已知矩阵M＝??的两个特征向量α1＝??，α2＝??.若β＝??，求Mβ.

?n 1??0??1??2?

解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，

m＝0，

?n＝0，?Mα1＝λ1α1，则由?可解得

?Mα＝λα，λ＝2，2221?

2

??

???λ

＝1.

?1??1??0?

又β＝??＝??＋2??＝α1＋2α2，

?2??0??1?

?1??0??4?

所以Mβ＝M（α1＋2α2）＝λα1＋2λα2＝4??＋2??＝??.

?0??1??2?

2

2

21

22

?2?? 1a?

1. （2017·苏州期初）已知α＝??为矩阵A＝??属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及

?1??－14?

A.

解：由条件可知，?

2

? 1a??2????＝λ

?－14??1??2???， ?1?

???2＋a＝2λ，?a＝2，所以?解得?

?－2＋4＝λ，?λ＝2.??

? 1因此A＝?

?－1? 12

所以A＝?

?－12??， 4?

2?? 12??－110????＝??. 4??－14??－514?

?1?

2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M将点

?1?

（－1，3）变换为（0，8）.

（1） 求矩阵M；

（2） 求曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程.

?ab??ab??1??1??ab??－1??0?

解：（1） 设M＝??，由????＝8??及????＝??，

?cd??cd??1??1??cd?? 3??8?

a＋b＝8，a＝6，

???c＋d＝8，?b＝2，?6得?解得?∴ M＝?

－a＋3b＝0，c＝4，?4??－c＋3d＝8，??d＝4，

2?

?. 4?

（2） 设原曲线上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下的对应点为P′（x′，y′），

??x′＝6x＋2y，?x′??62??x?

则??＝? ???，即?

?y′＝4x＋4y，?y′??44??y??

2x′－y′x＝，

8

解得

－2x′＋3y′y＝，

8

代入x＋3y－2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，

即曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线方程为x－2y＋4＝0.

?m 2?? 1?

3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M＝??的一个特征值λ对应的一个特征向量为??，求实

?2－3??－2?

数m与λ的值.

?m 2?? 1?? 1?

解：由题意得?＝λ?????，

2－3－2?????－2?

???m－4＝λ，?m＝0，则?解得? ?2＋6＝－2λ，?λ＝－4.??

?1?（0，1）分别变换成点?9，－2?，?－3，4?.设变

4. （2017·无锡期末）已知变换T将平面内的点?1，?，?4??2?

?2?????

换T对应的矩阵为M.

（1） 求矩阵M；

（2） 求矩阵M的特征值.

?1?? 9?abab???????4?

解：（1） 设M＝?， ?，则??1＝

?cd??cd?????

?2??－2?

?????

?－3?ab0?????2?

， ????＝??cd1????

? 4?3

得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，

2

? 3－3?

2?. ∴ M＝?

??

?－4 4?

（2） 设矩阵M的特征多项式为f（λ），

3??λ－3

22?＝（λ－3）∴ f（λ）＝?（λ－4）－6＝λ－7λ＋6.

??

4λ－4??

令f（λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.

?3 a?

1. 已知a，b是实数，如果矩阵A＝??所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）.

?b －2?

（1） 求a，b的值；

2

（2） 若矩阵A的逆矩阵为B，求B.

?3 a??2??3?

解：（1） 由题意，得????＝??，

?b －2??3??4?

???6＋3a＝3，?a＝－1，故?解得? ?2b－6＝4，?b＝5.??

?3 －1?

（2） 由（1），得A＝??.

?5 －2?

?2 －1?

由矩阵的逆矩阵公式得B＝??.

?5 －3?

?－1 1?2

所以B＝??.

?－5 4?

?12??－1－2?－1

2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A满足：A??＝??，求矩阵A的逆矩阵A.

?06?? 0 3?

?ab??ab??12??－1－2?

解：（解法1）设矩阵A＝??，则????＝??，所以a＝－1，2a＋6b＝－2，c＝0，

?cd??cd??06?? 0 3?

2c＋6d＝3.

?－10?－10?1?.根据逆矩阵公式得A－1＝?解得b＝0，d＝，所以A＝???. 1? 0?2? 02?

2??

?12??－1－2??12?－1?－1－2?－1

（解法2）在A??＝??两边同时左乘逆矩阵A，得??＝A??.

?06?? 0 3??06?? 0 3??ab??12??ab??－1－2?－1

设A＝?，则???＝????，

?cd??06??cd?? 0 3?

所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.

?－10?－1

解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A＝??.

? 02?

?1 0?－1

3. 已知矩阵M＝??，求逆矩阵M的特征值.

?2 2??a b?－1

解：设M＝??，

?c d?

?1 0??a b??1 0?－1

则MM＝????＝??，

?2 2??c d??0 1?ab???1 0?

所以??＝??，

?2a＋2c2b＋2d??0 1?

???b＝0，?b＝0，

所以?解得?c＝－1，所以M

2a＋2c＝0，

1??2b＋2d＝1，?d＝?2.

a＝1，

1

. 2

a＝1，

? 10?－1?. ＝?1?－1?

2??

0??λ－1

1??－1?M的特征多项式为f（λ）＝?1＝（λ－1）?λ－2?，令f（λ）＝0，解得λ＝1或λ＝

?1??λ－?

2??

1－1

所以矩阵M的逆矩阵M的特征值为1和. 2

?1 2??1?6

4. 已知矩阵M＝?，β＝???，计算Mβ.

?2 1??7?

?λ－1－2?2

解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝??＝λ－2λ－3.

?－2λ－1?

?1?? 1?

令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝??，α2＝??.

?1??－1?

令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.

1??2 913??1?6?Mβ＝M（4α1－3α2）＝4（Mα1）－3（Mα2）＝4×3??－3×（－1）??＝??.

?1??－1??2 919?

6

6

6

6

6

错误![备课札记]

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