精选2019版高考数学一轮复习矩阵与变换学案

选修4-2 矩阵与变换

第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义.

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的平面变换进行解题. ? 1 1??1?

1. 已知矩阵M＝?，MX＝Y且Y＝???，求矩阵X.

?－1 2??2?

???x＋y＝1，?x＝0，?x?? 1 1??x?? x＋y??1??0?

解：设X＝??，则?得?故X＝??. ???＝??＝??，所以由?

?－x＋2y＝2，??y＝1，?y??－1 2??y??－x＋2y??2??1??

?m0?

2. 点（－1，k）在伸压变换矩阵?，求m，k的值. ?之下的对应点的坐标为（－2，－4）

?01??－m＝－2，?m＝2，??m0??－1??－2????解：?＝， 解得 ????????01?? k??－4??k＝－4，?k＝－4.

3. 已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M.

?a＋b＝1，??a b??a b??1??1?

?解：设M＝?，则＝，即 ???????

?c＋d＝1.?c d??c d??1??1??

??－a＋2b＝－2，?a b??－1??－2?

由题意可得? ???＝??，即?

?－c＋2d＝4，?c d?? 2?? 4??

4a＝，

3

??1b＝－，?3

联立两个方程组，解得?

2c＝－，?3

5d＝??3.

1

－?? 433??即矩阵M＝. 25?－ ??33?

?1 2?22

4. 已知曲线C：x＋2xy＋2y＝1，矩阵A＝??所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程.

1 0??

?1 2?

解：设曲线C上的任意一点P（x，y）在矩阵A＝?， ?对应的变换作用下得到点Q（x′，y′）

?1 0?

?1 2??x??x′?则????＝??，即x＋2y＝x′，x＝y′， ?1 0??y??y′?

x′－y′

所以x＝y′，y＝.

2

22

代入x＋2xy＋2y＝1，

x′－y′?2x′－y′?2

得y′＋2y′·＋2??＝1，

22??

2222

即x′＋y′＝2，所以曲线C1的方程为x＋y＝2.

?1 2??1 0??1 0?

5. 求使等式??＝??M??成立的矩阵M.

?3 4??0 2??0 －1?

?a b??1 0??a b??ab?

解：设M＝??，????＝??，

?c d??0 2??c d??2c2d??ab??1 0??a－b?∴ ????＝??.

?2c2d??0 －1??2c－2d??1 ∴ ??3

2?

?a＝??4??2c

1＝a，??2＝－b，－b?

?，∴ ?－2d?3＝2c，

??4＝－2d，

－2?

??b＝－2，??1

∴ ?∴ M＝33

?c＝，

2?2??d＝－2，

a＝1，

?.

－2?

?

1. 二阶矩阵与平面向量 （1） 矩阵的概念

?1??2 3??1 3 4?

在数学中，把形如??，??，??这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中

?3??1 5??2 0 －1?

按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.

（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则

?b11?

[a11 a12]??＝[a11×b11＋a12×b21].

?b21?

（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则 ?a11 a12??x0??a11×x0＋a12×y0?????＝??. ?a21 a22??y0??a21×x0＋a22×y0?2. 几种常见的平面变换

?10?

（1） 当M＝??时，对应的变换是恒等变换.

?01?

?k0??10?

（2） 由矩阵M＝??或M＝??（k>0，且k≠1）确定的变换TM称为（垂直）伸压变换.

?01??0k?

（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.

?cos θ－sin θ?

（4） 当M＝??时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针

?sin θ cos θ?

旋转角度θ.

（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.

?1k??10?

（6） 由矩阵M＝??或M＝??（k∈R，k≠0）确定的变换称为切变变换.

?01??k1?

3. 线性变换的基本性质

?x??λx?

（1） 设向量α＝??，则λα＝??.

?y??λy??x1??x2??x1＋x2?

（2） 设向量α＝??，β＝??，则α＋β＝??.

?y1??y2??y1＋y2?

（3） A是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A（λα）＝λAα，A（α＋β）＝Aα＋Aβ.

（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. 4. 二阶矩阵的乘法

?a1 b1??a2 b2?

（1） A＝?，B＝???，

?c1 d1??c2 d2?

?a1a2＋b1c2 a1b2＋b1d2?则AB＝??.

?c1a2＋d1c2 c1b2＋d1d2?

（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB）C＝A（BC）. [备课札记]

1 二阶矩阵的运算

?－1 2??1 1??2?

1 已知矩阵A＝??，B＝??，向量α＝??.若Aα＝Bα，求实数x，y的值.

? 1 x??2 －1??y?

?2y－2??2＋y?

解：Aα＝??，Bα＝??，

?2＋xy??4－y?

?2y－2＝2＋y，?

由Aα＝Bα，得?

?2＋xy＝4－y，?1??x＝－，2 解得?

??y＝4.

变式训练

? 1 －2?? 5?

已知矩阵A＝?，B＝???，满足AX＝B，求矩阵X.

－2 －1－15?????a?? 1 －2??a?? 5?

解：设X＝??，由????＝??，

?b??－2 －1??b??－15?

??a－2b＝5，得? ?－2a－b＝－15，???a＝7，?7??解得此时X＝??. ??1??b＝1，

, 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程)

1?xy3

, 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C：＋＝1在矩阵A＝?94

?0

2

2

0

?

1?对应的变换作2?

用下所得的曲线的方程.

?10?1 0???，试求曲线y＝sin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程. 2（2） 设M＝??，N＝????0 2?

?01?

解：（1） 设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），

11x1

03x1???x?3

则＝＝???， 1?y1???y?1

0y122

??????

????????

22

??x1＝3x，xy22则?代入椭圆方程＋＝1，得x＋y＝1，

94?y1＝2y，?

所以所求曲线的方程为x＋y＝1.

?10??10?10???2?＝?2?， （2） MN＝???????02?

?01??02?

设（x，y）是曲线y＝sin x上的任意一点，在矩阵MN对应的变换作用下对应的点为（x′，y′）. ?10?x

???x′???2则?＝??，

????y??y′??02?

1x＝2x′，??x′＝x，??2即?所以? 1

y＝y′，??y′＝2y，??2

22

1

代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′.

2

即曲线y＝sin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程为y＝2sin 2x. 变式训练

?－1 0?

在平面直角坐标系xOy中，设点A（－1，2）在矩阵M＝??对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，

0 1??

4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.

解：设B′（x，y），

?－1 0??－1??1?

依题意，由????＝??，得A′（1，2）.

? 0 1?? 2??2?

→→则A′B＝（2，2），A′B′＝（x－1，y－2）.

?0 －1?

记旋转矩阵N＝??，

1 0??

?0 －1??2??x－1?则????＝??， ?1 0??2??y－2?

??x＝－1，?－2??x－1?

即??＝? ?，解得?

?y＝4，? 2??y－2??

所以点B′的坐标为（－1，4）.

, 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵)

?a 1?

, 3) 已知矩阵A＝??，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x

?1 a?

－y＋2a＝0.

（1） 求实数a的值；

2

（2） 求A. 解：（1） 设直线l上任一点M0（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下变为l′上的点M（x，y）， ?x??a 1??x0??ax0＋y0?则??＝????＝??， ?y??1 a??y0??x0＋ay0???x＝ax0＋y0，所以?

?y＝x0＋ay0.?

代入l′方程得（ax0＋y0）－（x0＋ay0）＋2a＝0， 即（a－1）x0－（a－1）y0＋2a＝0. 因为（x0，y0）满足x0－y0＋4＝0，

2a所以＝4，解得a＝2.

a－1

?2 1?

（2） 由A＝??，

?1 2?

?2 1??2 1??5 4?2

得A＝????＝??.

?1 2??1 2??4 5?变式训练

?－1a?

（2017·镇江期末）已知实数a，b，矩阵A＝??对应的变换将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，

? b3?

b的值.

解：设直线x－y－1＝0上任意一点P（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（x′，y′），

??x′＝－x＋ay，?－1a??x??x′?

由? ???＝??，得?

?y′＝bx＋3y.? b3??y??y′??

因为P′（x′，y′）在直线x－y－1＝0上，

所以x′－y′－1＝0，即（－1－b）x＋（a－3）y－1＝0. 因为P（x，y）在直线x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0.

???－1－b＝1，?a＝2，?因此解得? ?a－3＝－1，?b＝－2.??备选变式（教师专享）

?m n?

已知直线l：x＋y＝1在矩阵A＝??对应的变换作用下变为直线l′：x－y＝1，求矩阵A.

?0 1?

解：设直线l：x＋y＝1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y′）.

?x′＝mx＋ny，??x′??m n??x??mx＋ny?

?由??＝?＝，得 ?????

??y′??0 1??y??y??y′＝y.

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx＋ny）－y＝1.

?m＝1，?m＝1，???1 2?依题意?解得?所以A＝??.

??n－1＝1，n＝2，0 1????

, 4 平面变换的综合应用)

?10?

?11??3???, 4) 已知M＝??，N＝?1?，向量α＝??.求证： ?01??4?0

2??

（1） （MN）α＝M（Nα）；

（2） 这两个矩阵不满足MN＝NM.

1

101??2?11???证明：（1） 因为MN＝?， ?1＝

?1?01??0

2?0?

2

11

2?3??5?

所以（MN）α＝??＝??.

1?4??2?02

?10?3

???3???因为Nα＝?＝??，

?01???4??2?

2??

?11??3??5?

所以M（Nα）＝????＝??，

?01??2??2?

所以（MN）α＝M（Nα）.

112

（2） 由（1）知MN＝，

102

?10?11?11?

?????NM＝?＝?1?1，

?0??01??0?

22????

所以这两个矩阵不满足MN＝NM. 备选变式（教师专享）

?0－1?

在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（－1，2），C（0，3）.求△ABC在矩阵??

?1 0?

对应的变换作用下所得到的图形的面积.

?0－1??0??0??0－1??－1??－2??0－1??0??－3?

解：因为?，B（－1，???＝??，????＝??，????＝??，所以A（0，0）

?1 0??0??0??1 0?? 2??－1??1 0??3?? 0?

?0 －1?

2），C（0，3）在矩阵?，B′（－2，－1），?对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A′（0，0）

?1 0?

13

C′（－3，0）.故S△A′B′C′＝A′C′·|yB′|＝. 22

? 30?

1. （2017·南京、盐城模拟）设a，b∈R，若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝??对应的变换作用

?－1b?

下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值.

解：（解法1）取直线l：ax＋y－7＝0上点A（0，7），B（1，7－a）.

?

???????

????????

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