第一章 线性代数复习与矩阵求逆(2)

证 （1）L(A?B)?L(A)?L(B)；

（2）由于BX?0的解一定是ABX?0的解， ?n?r(AB)?n?r(B)所以r(B)?r(AB)；

同理，ATX?0的解一定是BTATX?0的解，?n?r(BTAT)?n?r(AT)所以r(AT)?r(BTAT)，?r(A)?r(AB)。

例3 设A?(aij)s?n，B?(bij)n?t，则r(AB)?r(A)?r(B)?n。

证 记r(A)?r，r(B)?k，则存在可逆矩阵P、Q，使得

?IrA?P??0?0??Q， ?0?0??QB，且r(QB)?r(B)?k， 0???Ir?AB?P??0?记QB????Cr?，Cr?(cij)r?t的矩阵，于是 ???Cn?r??Ir?00??Cr???QB?P?0??， 0????C0 P?? ?r(AB)?r(r)， 又???Cr?的秩为k，Cn?r可能线性相关，也可能线性无关，则Cr中至???Cn?r?少有k?(n?r)行线性无关的，从而 r(AB)?k?(n?r)?r(A)?r(B)?n， 即r(AB)?r(A)?r(B)?n。

三、矩阵的满秩分解

例4 证明秩为r的矩阵A?(aij)s?n必可分解为 A?BC 其中B?(bij)s?r，C?(cij)r?n。

证 由于r(A)?r，则存在可逆矩阵P、Q，使得

?IrA?P??0??Ir?取B?P??0??，C??Ir??0??Ir?????IrQ?P???0??0?0?Q即可。

0?Q，

由于r?r(BC)?min{r(B),r(C)}，且B?(bij)s?r为r列，C?(cij)r?n为r行，所以它们的秩都是r，故称A?BC为矩阵A的满秩分解。

例5

?1011???A??012?1???A1?0000???A2A1?2A2A1?A2?

=?A1?10???1011??1011??A2???012?1????01???012?1??。 ???00??????101???例6 设A???112?，求A的BC分解。

?013???解 r?A??2，P?1AQ?1????Ir??B?P??0??，C??Ir???1???1?AI??0???I0????1???0??0?P?1?Ir?00??Ir??，?A?P?00???0??Q， 0??0?Q，

0??10110?00?1?11??，

0?1000?1?3000??01000??001001100??1??12010??013001??0???00000??1?010000????01000???000??1?100???????110?，?P???110?； ??1?11??011?????Q?1?10?1??101???????01?3?，?Q??013?； ?001??001??????100??10??10??????I?r???B?P??0?????110???11????11?，

???011??00??01???????C??Ir?101???101??100???0130?Q??????010???013??。

???001?????例7 证明 r(ABC)?r(B)?r(AB)?r(BC)。 证 设r(B)?r，B的满秩分解为B?HK，于是

ABC?AHKC，

?r(ABC)?r(AHKC)?r(AH)?r(KC)?r，

又

AB?AHK，?r(AB)?r(AH)，

BC?HKC，?r(BC)?r(KC)，

?r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B)，

即 r(ABC)?r(B)?r(AB)?r(BC)。

第三节 应用举例

例1 最佳拟合曲线

设有两个量x与y,由实验得到x与y的S组数字：

X=ai ,y=bi (i=1,2,?,s) (1.1) 又1(x),2(x),?,n(x)为已知函数，现在要找系数x1,x2,?,xn，使函数式

y=x11(x)+x22(x)+ ?+xnn(x) (1.2)

能“最佳”地符合条件式（1.1） 将（1.1）式代入（3.2）记j(ai)=aij 得

ai1xi+ai2x2+?+ainxn=bi (i=1,2,?,s)

1(a1)x1+2(a2)x2+?+n(an)xn=bi A=(aij)S×n ,b=(b1,b2,?bs)T,x=(x1,x2,xn)T

AX=b (1.3)

min例2 人口问题

此人口模型由leslie于40年代提出，研究某地区女性各种年龄人口随时间增长的分布情况，从而得出合适的生育率。

将女性人口按年龄等间隔地分为几个年龄组，假定已知各种年龄组的生育率bi及存活率ai (i=1,2,?,n)。

bi是单位时间内第i年龄组每人生育女孩的数目;

ai是存活到下一时间间隔的第i年龄组的人数与该组总人数之比。

且ai,bi 均为常量而an=0,

记第k个时间间隔时，第i年龄组人数为xi(k),则xi(k)与xi(k-1)的关系为

x1(k)=b1x1(k-1)+b2x2(k-1)+?+bnxn(k-1) (k=1,2,?) xi+1(k)=aixi(k-1) (i=1,2,?,n-1)

引进矩阵

?b1b2?a0?1 A??0a2??????00?bn?1?0?0???an?1bn?0??kTkk

0? Xk=(x1,x2,?xn) ???0??

Xk=AXk-1 (k=1,2,?) =AkZ0

其中X0为女性人口的初始状态向量。

例3 遗传学中markov链模型

设某种生物分优、混、劣三类。繁殖时，若父母均为优种，则后代为优种；若父母均为劣种则后代比为劣种；若父母之一为优种另一为混种，则后代为优或混的概率为；若父母之一为优种另一为劣种，则后代比为混种；若父母均为混种，则后代是优、混、劣的概率为、、；若父母之一为混种另一为劣种，则后代为混种的概率或劣种的概率各为。

现在每次随机地抽取一对来繁殖，又在后代中随机的取一对来繁殖，如此下去，分析第k代中随机取一对为上述6种状态中每一种的概率。

分别将6种状态依上述的次序编号，记第k代为第i状态的概率为xi(k),并记

Xk=(x1(k),x2(k),x3(k),x4(k),x5(k),x6(k))T利用贝叶斯公式可得

Xk=AXk-1=?=AkX0

?1?2???00??，B???11???4??4??0?141081141040?0??0?? ?1?4?1??2?其中A???I2?0?1?4R?，R???B??0??11610160?I2k容易计算得A???0R(I?B???Bk?1)??

Bk?第四章将证明B的特征值之模全小于1，且

?I2??0R(I?B)?1??X0 0??3?4?1R(I?B)???1??4121212121?4?? 3?4??当X0=e1，则X=e1 两优全优 当X0=e2，则X=e2 两劣全劣

当X0=e3， 则X=（，,0,0,0,0）T 优+混优 劣

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