减少解析几何计算量的十种方法(2)

正确的解题途径是：

yl（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识.

【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12

a2??12,?a2?12?3?36,b2?a2?c2?27.

c1x2y2??1，其离心率e?. 故椭圆方程为：

23627P2(x2,y2)P1(x1,y1)H1120°θOFxP3(x3,y3)图8-2

如图8-2设P令FP1?x1,y1?,P2?x2,y2?,P3?x3,y3?为椭圆上符合条件的三点，1?r1,FP2?r2,FP3?r3.作P1H1⊥l于H1，令PH11?d1，

设∠P1Fx=θ则∠P2Fx=θ+120°∠P3Fx= 120°-θ.于是r1?ed1?1?12?x?，而2x1?3?r1co?s?,?r12?同理：r2?99r1??co?sr1.

2?co?s99,r3?.于是

2?cos(120???)2?cos(120???)1111 ?????2?cos????2?cos(120????)??2?cos(120????)???|FP|FP|FP91|2|3|?12?6?cos??2cos120?cos???，故为定值. 93【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁

（9）命题转换

【题10】（湖北重点学校4月考，19题）椭圆的两焦点坐标分别为F1?3,0,F2???3,0,且椭圆过点

?1??6??.（1）求椭圆的方程； （2）过点3,?????,0?作直线l交该椭圆于M,N两点（直线l不与x轴重2??5??合），A为椭圆的左顶点，求证;?MAN??2.

【分析】（1）问，简单；（2）问，点??,0?的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数.

【解析】（1）由条件知椭圆半焦距c?3，?点P?3,?6

?6?5????1??在椭圆上， 2?11??a??PF1?PF2???22????1??1?23?????02?????2??2??222?1?71???????2 ?2?22??x2于是b?1,所求椭圆方程为?y2?1

4（2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过点Q??6,0?作直线l交

?x2y2??1于M,N两点（直线l不与x轴重合）椭圆，A为椭圆的左顶点，求证;?MAN?.

210025设所求直线：y?k?x?6?，代入x?4y?100：

22yx2?4k2?x2?12x?36??100??1?4k2?x2?48k2x?144k2?100?0

M(x1,y1)48k2144k2?100,x1?x2??于是x1?x2??.

1?4k21?4k2∵y1y2?k2A(-10,0)Q(-6,0)ON(x2,y2)x?x1?6??x2?6??k2??x1?x2?6?x1?x2??36??

??????????AM?AN??x1?10,y1??x2?10,y2??x1?x2?10?x1?x2??100?y1y2

??1?k2?x1?x2??10?6k2??x1?x2??100?36k2

图9

1?k??144k??22?100?1?4k2?48k2?10?6k2?1?4k2?100?36k2

?1?144k4?44k2?100???288k4?480k2???100?436k2?144k4???0 2???1?4k这就证明了：?MAN??2.

（10）先猜后证

【题11】（湖北华师一附中.2010 .5月考.19题） 以F1(0,?1),F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P((Ⅱ)过点S(?2，1)．(Ⅰ)求椭圆C的方程； 21，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，3使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】本题难点在第(Ⅱ)问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明.

7

y2x2 (Ⅰ) 解法一（定义法）：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，由已知c?1。

ab2y?2???2222222又2a??所以a?2,b?a?c?1，椭圆C的方程是x+ =1． ?2??0?22．????2??2?2????22y2x222解法二（方程法）：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，由已知c?1，即a?b?1，得

ab11y2x22??1?2b2?b2?1??3b2?1?2b4?b2?1?0 ??1(，1)代入：P2222b?12bb?1b2y2222=1． ?b?0,?b?1椭圆C的方程是x+ 2(Ⅱ)（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭圆方程中， 令x??,得y??yA1A1344.如图即有：ST?SA1?SB1?.这说明 33BSOT(1,0)x以弦A1B1为直径的圆过点T（1,0）.以下我们证明：椭圆中过点

??????S的其他弦为直径的圆也过定点T（1,0）只需证明TA?TB?0.

设直线AB：y?k?x??.代入椭圆方程,整理得：k?2x?B1图10

??1?3??2?22kk?18x??0. 39222k2k2?18,x1?x2?∵点S在椭圆内,∴此方程必有二实根x1,x2,且x1?x2??.于是 223?k?2?9?k?2???????1??1??TA?TB??x1?1,y1??x2?1,y2???x1?1??x2?1??k?x1???k?x2??

3??3????k2?1?x1x2?1212k?3x?x?????129?k?9? 3?1??k2?1??k2?18??2k2?k2?3???k2?9??k2?2???0 2?9?k?2????????可知TA?TB,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点T（1,0）.

练习题

x2y21.（北京东城二模，6题）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与

ab8

双曲线交于M,N两点，O为坐标原点.若OM?ON，则双曲线的离心率为

（A）?1?31?3?1?51?5 （B） （C） （D） 22222.（2011.湖北重点学校4月考.文科.9题）.已知抛物线y2?2px?p?0?，Rt△ABC的3个顶点都在抛物线上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高为 （ ）

A.2p B.4p C.p D.P/2

3.（湖北武昌，元月考，6题）直线y?k?x?2?与抛物线y2?8x交于A,B两点.若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）

A.6 B.10 C. 25 D.16

p?p2?24.（2010.北京宣武5月考.8题.）如图抛物线C1： y?2px和圆C2: ?x???y?，其

2?4?22中p?0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A,B,C,D四点，则AB?CD的值为（ ）

p2A.4p2B.3p2C.2D.p2

5（2010.北京.崇文.5月考.8题）已知圆的方程x2?y2?25，过M(?4,3)作直线MA,MB与圆交于点A,B，且MA,MB关于直线y?3对称，则直线AB的斜率等于 （ ）

（A）?4354 （B）? （C）? （D）? 3445x2y2??1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长6．（2011.元月.海淀.7题）已知椭圆E:m4与l:y?kx?1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（ ） ．．．

A．kx?y?k?0 B．kx?y?1?0 C．kx?y?k?0 D．kx?y?2?0 7. （2011.元月.北京西城.14题）在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)?x1?x2?y1?y2为两点

P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线2x?y?25?0上一点的“折线距离”

的最小值是____；

圆x?y?1上一点与直线2x?y?25?0上一点的“折线距离”的最小值是____. 8（2011.元月.湖北武昌.9题）.如图，已知点P是圆C:x?y?22222??2?1的一个动点，点Q是直线

????????l:x?y?0上的一个动点，O为坐标原点，则向量OP在向量OQ方向投影的最大值是（ ）

9

A.3 B. 2?2 C. 32 D.1 2?2x?y?2?0?9. （湖北黄冈，元月.13题）如果点P在平面区域?x?2y?1?0上，点Q在曲线x2?(y?2)2?2上，

?x?y?2?0?那么PQ 的最小值为_________

x2y210. （同上，14题）过双曲线2?2?1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲

abx2y2线2?2?1上，则双曲线的离心率为 ______________________. bax22若直线 11.（海南12校第一次联考，6题）设双曲线M:2?y?1,点C?0,1?，a?2x?t??????????2?t为参数?交双曲线的两渐近线于A,B，且BC?2AC，则双曲线的离心率为B ??y?1?2t??2A.52B.103C.5D.10 x2y212.（河北唐山一模.16题）双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右

ab支上一点，PF2与圆x?y?b切于点G,且G为PF2的中点，则该双曲线的离心率e= 13.（重庆7区2月考，8题）设F1，F2分别为双曲线 曲线右支上存在点P，满足PF2?F1F2,且点P的横坐标为

14. （2010.北京西城5月考.8题）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD，设

（a＞0,b＞0）的左右焦点，若在双

2225c（c为半焦距），则该双曲线的离心率为 4?DAB??,??(0,)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆

2的离心率为e2，则（ ）

A．随着角度的增大，e1增大，e1e2为定值

10

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