减少解析几何计算量的十种方法

减少解几试题计算量的十种方法

—高考对策之一

在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：

（1）设而不求.

【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是 ( )

A.6x－5y－28=0 B.6x+5y－28=0 C.5x+6y－28=0 D.5x－6y－28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN的重心，容易求出边MN的中点 坐标，那么求直线l的方程，关键在求该直线的斜率.

若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：

OyB(0,4)NxF(2,0)C(3,-2)Mx2y2??1.∴椭圆上顶点 【解析】由4x?5y?80?201622图1

B（0，4）,右焦点F（2,0）.为△BMN的重心，故线段MN的中点为C（3，-2）.

?4x12?5y12?80设直线l的斜率为k.，点M?x1,y1?,N?x2,y2?在椭圆上，∴?2? 2?4x2?5y2?804?x1?x2??x1?x2??5?y1?y2??y1?y2??0?k?所求直线方程为y?2?y1?y24x?x466???12????

x1?x25y1?y25?456?x?3??6x?5y?28?0，选A. 5【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.

（2）使用特值

6x2y2【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为的双曲线2?2?1?a?b?0?中，F为

5ab????????右焦点，过F点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B两点，且点A在第一象限，若AF?mFB,则

m=（ ）

1

A.2 B.3 C.4 D.5

????????【分析】按常规求m值，必先求向量AF与FB之长.由于双曲线的

方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的.

注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.

yAO所以我们可以通过取特值，让方程具体化.

【解析】e?B1FA1Bxc6?.不妨设a?5,c?6,?c2=a2+b2,?b?11，双曲线 a5x2y2??1,其右焦点F?6,0?，设A6?t,3t，代入双曲线方程： 方程为：

2511??图2

11?6?t??25?3t2?25?11?64t2?132t?121?0

2??16t?11??4t?11??0.于是t1?t1111,t2??,m?1?4，故选C. 416t2（3）平几给力

【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C：x2?y2?R2内一定点M(x0,y0)作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ON⊥PM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则O M?OQ= 。

【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段.

【解析】如图4,连OP,则OP⊥PQ.但是OQ⊥PR于N,根据

?????????yRQNαOPx????????????22直角三角形的射影性质有：OQ?ON?OP?R

??????????????????????????2∴OM?OQ?OQ?OM?cos??OQ?ON?R

?????????即OM?OQ?R2.

图3

（4）减少参数

【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线C:x?y?1的渐近线方程为 22????????若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点，且PA?2AQ，则直线

l的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问.

2

按常规，为求直线l的斜率，必先确定P或Q的坐标.但由现有 条件却确定不了，因此退而求P,Q两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.

yP????????【解析】设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.当PA?2AQ时， y1?2y2?0.设直线PQ:y?k?x?1?.令x=y,得

k?ky?k?y?1?,?y1?令x=-y,得y?k??y?1?,?y2?

k?1k?1OQA(1,0)xk2k12??0?k?0,???0 于是：

k?1k?1k?1k?1 ?k?1?2?k?1??0 得k=3.

图4

【别解】（巧用中点公式）如图设P（a,a）,则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）, AR的中点

3?aa?3?aa??33?Q?,??符合所设条件且在直线y=-x上，??,得P?,?,?kPQ2?22?2?22?3?0?2?3 3?12（5）回归定义

x2y2【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设F1，F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左，右两个焦

ab???????????????????????点，若双曲线右支上存在一点P，使OP?OF2?F2P?0.（O为坐标原点），且PF1?3PF2，则双曲

??线的离心率是（ ）

3?12?????????????【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP?OF2=OQ, A.B.3?2C.3?22D.3?1

yPMF1OF2xQ???????????????????OQ?F2P且OQ必过F2P的中点.可知?PF1F2为直角三角形.

这就为用定义法求离心率创造了条件.

【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令

?????????PF2=r,则PF1?3r,?2a??3?1r，但是?F1PF2?90?,

2?????2?????2?????2?PF1?PF2?F1F2,即于是a??3r??r2?4，得r?1.

图5

3?1c2,e???3?1，选D 2a3?13

（6）正难则反

【题6】（北京海淀，5月考，7题）若椭圆C1：x22a1?y2b12和椭圆C2：?1（a1?b1?0）

x2a22?y2b22?1（a2?b2?0）的焦点相同且a1?a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；

a1b1?； ③a12?a22?b12?b22； ④ a1?a2?b1?b2.其中，所有正确结论的序号是（ ） ②

a2b2A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③

【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：?其中不正确结论的序号是：

A. ① B. ② C.③ D.④ 此外，4个选项中，最容易用特值否定的是②，故有

x2y2x2【解析】构造椭圆C1:??1及C2:?y2?1.显然C1与C2焦点相同.

251610但是a1bab510???2,1?4.这里1?1，故结论②不成立，选B. a22b2a2b210【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.

首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论②在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的.

以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的正确性.

222222既是两椭圆焦点相同，那么c1.∴结论③正确； ?c2?a12?b12?a2?b2?a12?a2?b12?b2结论①：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.

?x2y2?a2?b2?122221?1??112?12?12a2?a12b2?b1?x?2?2??y?2?2??0?x?22?y?22?0 ?22a1a2b1b2?a1a2??b1b2??x?y?122??a2b2x2y2既然结论③正确，且已知a1?a2，?a2?a?b2?b?0,故必22?22=0.

a1a2b1b2221221y最后的方程无解，，这就证明了结论①是正确的.

B2要考察结论④是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法.

B14

OFx既然结论①正确，即两椭圆没有公共点.已知a1?a2，所以椭圆1在 椭圆2的外面. 如图6，设两椭圆公共右焦点为F，上顶点分别为

B1,B2，?FB1B2中，FB1-FB2?B1B2,故必a1?a2?b1?b2

这就是说，结论④也是正确的.既然结论①③④正确，故选B.

图6

请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？

（7）数形结合

x2y2【题7】（北京西城.5月考，5题）双曲线2?2?1的渐近线与圆x2?(y?2)2?1相

ab切，则双曲线离心率为（ ）

（A）2 （B）3 （C）2

（D）3

【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆C的圆心为C（0,2）,且半径r=1.

y bx切圆C于点A,则△AOC是含30?角的 ab直角三角形，??AOx?60?,于是?tan60??3,

a双曲线的渐近线l:y?b y = x a C02(,) A x c2?a2??3?e?2，选C. 2aO 图7 （8）三角代换

【题8】（2007.重庆卷，22题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3， 使?P1FP2??P2FP3??P3FP1，证明

111为定值，并求此定值.

??|FP|FP|FP1|2|3|P2P1yl【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，

OFP3x图8-1

否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.

有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.

5

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