武汉纺织大学高等数学（下）期末考试6-30统考A试卷答案(2)

?四、证明题(7分)：证明交错级数

?(?1)n?1n?1lnn是条件收敛的。 n???lnnlnnn?1lnn证明：(1) 设un?，则?un??(?1)， ………………………….….1’ ??nnn?1n?1n?1n? limun?limlnn???， ………………………….….2’

n??1n??n又调和级数

1是发散的， ?n?1n?由比较审敛法可得：

?un?1?n是发散的，

? 原级数不绝对收敛； ………………………….….3’

lnx(2) 设f(x)?，x?[1,??)，则

xlnx1lnn?lim?0?limun?lim?0，………………………….4’ limf(x)?limx???x???xx???xn???n???n1?lnx?0，x?[3,??) f?(x)?x2 ? f(x)在区间[3,??)内严格单调递减， 从而un?lnn当n?3时严格单调递减， ……………………………5’ n 由莱布尼茨判别法可得，当n?3时

?(?1)n?1n?3?lnn， n由收敛级数的性质得原交错级数收敛； ………………………….…..6’ (3) 综上所述，原级数是条件收敛的。 ……..……….……………….7’

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