武汉纺织大学高等数学（下）期末考试6-30统考A试卷答案

高等数学 A Ⅱ (A 卷 ) 2015-6-30

√

√

一 二 三 四

一、填空题(每小题3分，共15分)

1、设|a?|?3，|b?|?5，若a??kb?垂直于a??kb?，则k??35；

2、

3(x,ylimxy?9?)?(0,0)xy?16； 3、交换积分次序：

?1x2110dx?0f(x,y)dy=?0dy?yf(x,y)dx；

4、设?是锥面z?x2?y2被平面z?1所截部分，则??(x2?y2)dS?2?； ?2 f(x) 5、设是周期为2?的周期函数，在(??,?]上的表达式为 2x，设S(x)为f(x)的傅立叶级数的和函数，则S(?)?0。 二、选择题(每小题3分，共15分)

1、通过z轴及点(?3,1,?2)的平面方程为 ( B ) A x?3y?0， B x?3y?0， C 3x?y?0， D 3x?y?0； 2、函数u?xyz在点(5,1,2)处沿点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数为 ( D ) A ?9713， B 9713， C ?9813， D 9813； 3、平面3x?2y?z?6被三坐标面所割出的有限部分的面积为 ( C ) A

14， B 214， C 314， D 414；

4、设L为起点(0,0)和终点(1,1)的抛物线y?x2，则?2L(x?y2)dx?xydy? ( A )

A

815， B ?82215， C 15， D ?15； ?5、级数

????11?3n?n(n?1)??的和S? ( C ) n?1??A 0.5， B 3，1

C 1.5， D 1。

三、计算题(每小题7分，共63分) 题号 得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小计 1、求经过点(0,2,4)且与平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。 解：由条件可设已知两平面的法向量分别为

n1?(1,0,2)，n2?(0,1,?3)， ……………………1’ 则所求的直线的方向向量

?????s?n1?n2?102?(?2,3,1)， ……………………4’

01?3 从而所求的直线方程为

?i?j?kx?0y?2z?4xy?2????z?4。……………………7’ ，即?231?23

?u?2u2、设u?f(x?y,e)，且f具有二阶连续偏导数，求，。

?x?x?y22xy解：

?u?f1??2x?f2??exyy ………2’ ?x ?2xf1??yexyf2?， ………3’

?2u???(?2y)?f12???exyx?(exy?yexyx)f2??yexyf21???(?2y)?f22???exyx………6’ ?2xf11?x?y???????2(x2?y2)exyf12???xye2xyf22??。 ………7’ ?(1?xy)exyf2??4xyf11

22?dzdz?z?x?y,3、设?2，求，。 22dxdy??x?2y?3z?20,解：对原方程组两边分别关于x求导得

dy?dz?2x?2y,??dxdx ………….………..4’ ?dydz?2x?4y?6z?0,?dxdx?解得

dzxdyx?6xz???，。 ………….………..7’

dx2y?6yzdx1?3z2

4、求二元函数z?f(x,y)?x2(2?y2)?ylny的极值。 解：对原函数两边分别关于x和y求导得

??z2?2x(2?y),??x?① ………………….2’ ?

??z???y?x2?2y?lny?1,解方程组

???z???x?2x(2?y2)?0,??z ???y?2x2y?lny?1?0,得x?0,y?e?1； 对方程组①再分别关于x和y求导得

??2?z??x?2(2?y22),????2z?2x?2y, ??x?y???2z???y2x2?12?y,???2z?A??x2?2(2?e?2)?0,??0,e?1?? ??B??2z??x?y?0,??0,e?1???2z?C???y2?e,?0,e?1?从而AC?B2?0，

? 原函数在(0,e?1)处有极小值，其为f(0,e?1)??e?1。 3

………………….3’ ………………….5’ .6’

………………….7’

…………………

5、计算

???(xV2?y2)dV，这里V是由曲面4z2?25(x2?y2)与平面z?5所围立体。

??5x2?y2??22解：由条件得V??(x,y,z)?z?5,x?y?4?， ………………………………..1’

2?????x?rcos?,?0?r?2,??设?y?rsin?, 则?0???2?, ………………………………..3’

?2.5r?z?5,?z?z,??原式?2r???rdrd?dz ………………………………..5’ V??d??dr?r3dz ………………………………..6’

002.5r2?25??d??5r3?2.5r5dr?8?。 ………………………………..7’

002?2??6、求曲线积分xds，其中L为由直线y?x及抛物线y?x2所围成的区域的整个边界。

?L解：设L?L1?L2，

其中L1:y?x,0?x?1，L2:y?x2,0?x?1，则 ………………………………..2’ 原式?xds?xds ………………………………..3’

L1L2?? ??10x1?12dx??x1?(2x)2dx ………………………………..5’

0111122 ?2?xdx??1?4xd(1?4x) …………….…………………..6’

080 ?255?1。 ………………………………..7’ ?21227、判断在整个xoy面内，2xydx?xdy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。

解：设P?2xy，Q?x，则 ………………………………..1’

2?P?Q?2x?， ………………………………..3’ ?y?x?2xydx?x2dy在xoy面内是某个函数u(x,y)的全微分； ………….……………………..4’ u(x,y)?? ? ? ?(x,y)(0,0)(x,0)2xydx?x2dy ………………………………..5’ 2xydx?x2dy??y0??(x,y)(0,0)x(x,0)2xydx?x2dy ………………………………..6’

02x0dx?x2d0??2xydx?x2dy

?y0x2dy?x2y。 ………………………………..7’

4

8、求曲面积分

??xdydz?zdxdy，其中?为平面x?y?z?1与三个坐标平面所围立体表面之外侧。

?解：设P?x，Q?0，R?z，?所围成的区域为 ………………………1’

V?{(x,y,z)|0?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0}

?{(x,y,z)|0?z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1}， ………………………2’ 则由高斯公式得 原式???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????????x??y??z??dxdydz ………………………5’

??V? ?????1?0?1?dxdydz??0dx?0V11?xdy?1?x?y02dz?1。 ………………………7’ 69、求幂级数

?nxn?1?n?1的和函数和收敛域。

解：(1)设an?n，则??liman?1n?1?lim?1，

n??an??nn?原幂级数的收敛半径为R??1??1， ………………………1’

? 当x?1时，级数

?n发散；当x??1时，交错级数?(?1)n?0n?0nn发散，

?原幂级数的收敛域为(?1,1)。 ………………………3’

(2)设s(x)??nxn?1n?n?1,x?(?1,1)，则 …………………….…4’

??x??n??x? s(x)??(x)????x???。 ………………………6’ ??2(1?x)n?1?n?1??1?x??(3)综上所述，s(x)?

x,x?(?1,1)。 ………………………7’

(1?x)25

?四、证明题(7分)：证明交错级数

?(?1)n?1n?1lnn是条件收敛的。 n???lnnlnnn?1lnn证明：(1) 设un?，则?un??(?1)， ………………………….….1’ ??nnn?1n?1n?1n? limun?limlnn???， ………………………….….2’

n??1n??n又调和级数

1是发散的， ?n?1n?由比较审敛法可得：

?un?1?n是发散的，

? 原级数不绝对收敛； ………………………….….3’

lnx(2) 设f(x)?，x?[1,??)，则

xlnx1lnn?lim?0?limun?lim?0，………………………….4’ limf(x)?limx???x???xx???xn???n???n1?lnx?0，x?[3,??) f?(x)?x2 ? f(x)在区间[3,??)内严格单调递减， 从而un?lnn当n?3时严格单调递减， ……………………………5’ n 由莱布尼茨判别法可得，当n?3时

?(?1)n?1n?3?lnn， n由收敛级数的性质得原交错级数收敛； ………………………….…..6’ (3) 综上所述，原级数是条件收敛的。 ……..……….……………….7’

6

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