推荐-2018年杭州市高一年级教学质量检测[特约] 精品(2)

21 (本小题满分14分)

解：(1) a·b = cos2xcosx +sin2xsinx = cosx; 2分

(2) ∵| a + b|2 = |a| 2 + 2 a·b + |b |2 = 2+2cosx = 4cos2∴| a + b| = 2|cos

x ， 2x| , 同2x理：| a – b| = 2|sin| , 3分

2 ∴当m = 3时，

f ( x ) = 3| a + b| + 3| a – b | = 6|cos

x2| + 6|sinx2|. ∴ f ( x + ?) = 6|cosx?πx?π?x?x2| + 6 |sin2| = 6|cos(2+2)| + 6|sin(2+2)| =

6|– sinx2| + 6 |cosx2| = 6|cosx2| + 6|sinx2| = f ( x ) ,

即有f (x + ? ) = f ( x ). (3) 当m ? 3时， f ( x ) = 3| a + b| + m| a – b | = 6|cos

x2| + 2m|sinx2|. ∵ f ( x + 2?) =f ( x ) , ∴f ( x ) 的周期是2?，故可设0 ? x ? 2? .

① 当0 ? x ? ? 时，有0 ? x2 ? ?2，

∴f ( x ) = 6cos

xxx2+ 2msin2 = 29?m2sin(2+ ? ). 其中sin? =

3, cos? =

m, 且? ?( 0,

?2). 9?m29?m2∵ ? ?

x2+? ??2+ ? , ∴f ( x )的最小值为：

29?m2sin(?2+ ? ) =29?m2cos?= 2m, 由2m = 1得m = 12. ② 当? ? x ? 2? 时， 则?x2? 2 ? ?，

∴f ( x ) = –6cos

x2+ 2msinx2 = 29?m2sin(x2– ? ). 其中sin? =

3, cos? =

m ?( 0,

?9?m29?m2, 且?2). ∵

?2 – ? ?x12– ? ? ? – ? , 同理可得： m = 2. 综上，存在m = 12，使f (x )的最小值为1.

3分 2分 2分

2分

附加题：(满分5分，总分不超过120分)

为表述方便，设△ABC的三边为a, b , c，面积为S，半周长p =

1(a + b + c), 2

一般地，如图，设直线l将△ABC的周长和面积都平分，

l与边AB,AC分别交于D,E点，设m = AD, n = AE, 则有

?m?n?p??11 ? mnsinθ?S?2?2?m?n?p?S， ?mn??sinθ? ∴ m, n 是关于x的方程: x2 – px +

S= 0的两个实根， sinθ4S4S? 0? sin? ?2. ( * ) sinθp它有实数解的充要条件为: ⊿= p2 –

本问题：不妨设|BC| = 8, 且|AB| = 6, |AC | = 4 .

42?62?82151则有： p = 9 , cosA = = –, ∴sinA =, S = 315.

42?4?64 ∴ 问题有解必须满足：sin? ?

由条件得：sinB =

41527. 1分

15415bsinA=<;

278acsinA315415sinC = =>;

1627a又 sinA?15415?. 1分 427（1）若? = A，则??m?n?9?m,n是方程x2?9x?12?0的两根，

?mn?12解得：x =

9?339?339?33153. ∵? (, 2 ), ? (7, ), 22222而 |AB| = 6，∴线段AB上不存在点F使得AF?9?33，即满足条件的解不存2在. 1分

(2) 若? = C， 则??m?n?9?m,n是方程x2?9x?16?0的两根，

?mn?169?179?179?17135. ∵? ( 0, ), ? (, 8), 222229?179?17故在边B,B CA上分别取点E，D使CE=, CD =, 直线DE即为所

22解得： x =

求 . 1分 （3）若? = B, 则：sinB =

15415bsinA=<, ∴无解.

278a综合上述，满足题设条件的直线l只有一条，即情形（2）所示. 1分

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