福建南平市2015届高三5月质检理数 - Word版含答案(3)

20．本题满分14分．

解：（Ⅰ）由题意得f(0)?0,f?(0)?1，则a?b?0,b?1，……………………2分

解得a?1,b?1.……………………3分 （Ⅱ）由题意得h(x)?mlnx?1mx2?(m?1)x,x?(0,??). 2mx2?(m?1)x?m(x?m)(x?1)h?(x)??x?(m?1)??……………………5分

xxx（1）当0?m?1时, 令h?(x)?0，并注意到函数的定义域(0,??)

得0?x?m或x?1，则h(x)的增区间是(0,m),(1,??)； 同理可求h(x)的减区间是(m,1)………………6分

（2）当m?1时, h?(x)?0,则h(x)是定义域(0,??)内的增函数……………………7分 （3）当m?1时, 令h?(x)?0,并注意到函数的定义域(0,??)得0?x?1或x?m， 则h(x)的增区间是(0,1),(m,??); 同理可求h(x)的减区间是(1,m)…………………8分 （Ⅲ）证明: 因为正项数列{an}满足a1?所以ln(ane?an?11,ane?an?1?f(an), 2)?ln(1?e?an),即an?11?e?an……………………10分 ??lnan1?e?an1?e?an要证数列{an}是递减数列?an?1?an??ln?an??e?an

anan?ean?an?1……………………12分

设u(x)?ex?x?1,x?(0,??).?u?(x)?ex?1?0，

?u(x)是(0,??)上的增函数，则u(x)?u(0)?0，即ex?x?1，故ean?an?1，

则数列{an}是递减数列……………………14分

21．本题满分14分． (1) 解：（Ⅰ）由??1m???2??1???????……………………1分

?n1??1??3???2?m?1?n??1得? 解得?……………………2分

m?3?2n?1?3???13??M???……………………3分

??11??10??13??13?（Ⅱ）NM????????……………………4分

21?1117?????? 设点(x,y)是直线x?y?1?0上1一点，在矩阵NM的对应变换作用下得到的

'?x?3y?x'?13??x??x?? 点(x,y)，则?……………………5分 ?????'?y'?? 可得?17y????????x?7y?y''?y'?x'y???4''x?y?1?0 ?，代入得2x?y?1?0……………………6分 ''?x?7x?3y??4?曲线C的方程2x?y?1?0……………………7分

(2) 解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程，

得?sin?cos?4??cos?sin?4?2……………………1分

即：?sin???cos??2 ………………………2分

?曲线C1的直角坐标方程为y?x?2,即x?y?2?0……………………3分

由曲线C2的参数方程得C2的普通方程为：(x?1)2?(y?1)2?4……………………4分 （Ⅱ） C2表示圆心为(?1,?1)，半径r?2的圆， 因为圆心(?1,?1)到直线x?y?2?0的距离d??1?(?1)?2(?1)?(?1)22?22?2………6分

所以圆上的点到直线x?y?2?0的距离的最小值为22?2……………………7分 (3) 解：（Ⅰ）f(x)?1可化为：2x?1?2x?2?1……………………1分

??2x?1?2x?2?1?2x?1?2x?2?1??2x?1?2x?2?1??即?或?或……………3分 ?11?1?x?x??x??1???2?211?解得x??，所以不等式f(x)?1的解集为(??,??……………………4分

22?（Ⅱ）a?2a?f(x)恒成立?a2?2a?fmax(x)

2Q1?2x?2?2x?1?2x?2?2x?3（当x??1时取等号）……………………5分 ?fmax(x)?3 由a2?2a?3，解得a??3或a?1……………………6分

即a的取值范围是(??,?3)?(1,??)……………………7分

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