福建南平市2015届高三5月质检理数 - Word版含答案(2)

2015年南平市普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考答案及评分标准

说明：

1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1．B； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．C； 9．C ； 10．B． 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．0.67； 12．7； 13．135； 14．

3?2； 15．10. 2三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题满分13分．

解：(Ⅰ)∵f(x)?23sinxcosx?cos2x，(x?R) ?3sin2x?cos2x ………………… 1分

∴f(x)?2sin(2x?由2k???6). ………………… 3分

?2?2x??6?2k???2,k?Z，

解得k???6?x?k???3,k?Z. …………………… 5分

∴函数f(x)的单调递增区间是[k??(Ⅱ)∵在?ABC中，f(A)?2,C?∴2sin(2A??,k??],k?Z.……………………6分

63,c?2，

,k?Z.……………………8分

??4?6)?2,解得A?k???3又0?A??，∴A?依据正弦定理，有

?3. …………………… 9分

asin?3?csin?4,解得a?6.……………………10分

∴B???A?C?∴S?ABC5?. ……………………11分 12116?23?3. ……………………13分 ?acsinB??2?6??224217．本题满分13分．

解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、

B相互独立，

C321C323?P(A)?2?, P(B)?2?. …………………… 2分

C42C510?取出的4个球均为黑球的概率为P(A?B)?P(A)?P(B)?3 ……………………3分 20（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、

111C32C2C3C3C3233D互斥，且P(C)?2?,……………………5分 ?P(D)???2221020C4C5C4C5所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

P(C?D)?P(C)?P(D)?9. …………………… 6分 20（Ⅲ）设?可能的取值为0,1,2,3. 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P(??0)?39, P(??1)?,. 2020111122C3C2C3C32C2C3C271,P(??3)?2?2?……………10分 P(??2)?2?2?2?2?C4C5C4C520C4C520

?的分布列为

? P 0 1 2 3 …………………11分

∴

3 209 207 201 20?的数学期望E??0?397113?1??2??3?? ………………… 13分 202020201018．本题满分13分．

解：（Ⅰ）?PA?面ACB，BC?面ACB，

POZ?PA?BC……………………1分 又BC?AC，PA?AC?A

?BC?面PAC……………………2分

而AF?面PAC

MFEY?BC?AF……………………3分

CB（Ⅱ）解法一：如图以C为原点，CA、CB所在直建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)、C(0，0，0)、

AM(2，0，2)……………4分

设CFXCP??，B(0,m,0),可得E(1,m2,1)，则EF?(2??1,?m2,4??1)……………………5分

因为AP?(0,0,4)是平面ACB的一个法向量，EF∥面ACB

?AP?EF?(0，0，4)?(2??1,?m2,4??1)?4(4??1)?0……………………6分 ??14 即

CFCP?14……………………7分 (Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知EF?(?12,?m2,0)，CA?(2,0,0)

?cos45??EF?CAEF?CA??11m2?11?m2?22………………8分 4?4?2解得m?1……………………9分 由此EF?(?12,?12,0)，B(0,1,0),又A(2，0，0)、P(2，0，4) BA?(2,?1,0),BP?(2,?1,4)

设面PAB的一个法向量为n?(x,y,z)

由???n?BP?0?(x,y,z)?(2? 可得?n?BA?0?,?1,4)?0?(x,y,z)?(2,?1,0)?0……………………11分

即??2x?y?4z?0x?y?0，可取n?(1,2,0)……………………12分 ?2EF与面PAB所成角?的正弦值：

sin??n?EF3nEF?231051?10…………13分

2z（Ⅱ）解法二：如图以A为原点，过A且与CB平行

P所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)、M(0，0，2)……………………4分 yF设CFCP??,B(m,2,0),可得：E(m2,1,1) MECBF(0,2?2?,4?),

Ax线为x轴、y轴，

P(2，0，4)、

F(2?,0,4?),

的直线为x轴，AC

C(0，2，0)、P(0，0，4)

则 EF?(?m,1?2?,4??1)………………5分 2因为AP?(0,0,4)是平面ACB的一个法向量，EF∥面ACB

?AP?EF?(0，0，4)?(??4(4??1)?0……………………6分

m,1?2?,4??1) 21CF1?……………………7分 即

4CP4m1(Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知EF?(?,?,0)，CA?(0,?2,0)

22?? ?cos45??EF?CAEF?CA??11m2??244?11?m2?2……………………8分 2解得m?1 ……………………9分 由此EF?(?11,,0)，B(1,2,0) 220，0)、P(0，0，4)、BA?(?1,?2,0),BP?(?1,?2,4) 又A(0，设面PAB的一个法向量为n?(x,y,z)

??(x,y,z)?(?1,?2,4)?0?n?BP?0由? 可得?，……………………11分 ??(x,y,z)?(?1,?2,0)?0?n?BA?0??x?2y?4z?0即?， 可取n?(?2,1,0)……………………12分

?x?2y?0?3n?EF310?2?EF与面PAB所成角?的正弦值sin??……………13分

101nEF52

（Ⅱ）解法三：取MA中点G，连结EG，FG， ∵E是MB中点，∴EG是△MAB的中位线． ∴EG∥AB……………………4分 而AB?面ABC,EG?面ABC ∴EG∥面ABC……………………5分 又EF∥面ABC,EF?EG?E ∴面EFG∥面ABC, 而FG?面EFG ∴FG∥面ABC……………………6分 ∵FG?面PAC,面PAC?面ABC?AC ∴FG∥AC,?

AMGCFEBPCFAG1?? ……………………7分 CPAP419．本题满分13分．

x2y2解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为2?2?1(a?0,b?0).

ab1?6??122??4ab则?2……………………3分 2?a?b?1?3?a2解得a2?3,b2?2

x2y2??1.……………………5分 即椭圆Γ的方程为32(Ⅱ)由题意得F(1,0).

（1）当弦AB,CD的斜率均存在时，

1设AB的斜率为k，则CD的斜率为?.……………………6分

k令A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB中点M(x0,y0).

x2y2??1, 将直线AB方程代入椭圆方程322222并化简得(3k?2)x?6kx?(3k?6)?0.……………………7分

2kx1?x23k23k22k?2,?2).因为CD?AB，所以，则x0?,y0?k(x0?1)??2,于是,M(23k?223k?23k?23k?21将点M坐标中的k换为?，

k32k,2).…………………9分 即得点N(22k?32k?32k?5k3?(x?). ① 当k??1时，直线MN的方程为y?2k2?33k2?32k2?333令y?0得x?，则直线MN过定点(,0).……………………10分

5533② 当k??1时，易得直线MN的方程x?,也过点(,0).……………………11分

553（2）当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点(,0).

53综上，直线MN必过定点(,0).……………………13分

5

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