安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试理科数学试题（含解析）(3)

因为f?2017?x???x?2017?f??1??0，

所以?2017+x?g?2017?x???2017+x?g??1??0， 因为g?x?在???,0?单调递减，

222??2017?x?0?2017?x?0所以?????2018?x??2017，故选B．

g2017?x?g?12017?x??1???????

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．【答案】?8

?2x?y?0?【解析】实数x，y满足约束条件?x?y?6?0 的可行域如图：

?x?2y?3?0?

目标函数z?2x?3y，点A?2,4?，z在点A处有最小值：z?2?2?3?4??8， 故答案为?8． 14．【答案】

77 5【解析】由题意可得：x??2?3?5?620?23?27?30??4，y??25，

44?x?25?12???4??77．故答案为77． ∴a?y?b55515．【答案】5

【解析】正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA?的面积最大为5．

16．【答案】3

【解析】y?f?x?关于原点的对称图像的解析式为y??f??x?，

因此f?x?关于原点对称的点的个数实际上就是f?x???f??x?在?0,???上解的个数．

??又当x?0时，?f??x??sinx，考虑y?sinx与y?log6x在?0,???上的图像的交点的个数．如下图所示，

22它们有3个公共点，从而f?x?有3对关于原点对称的点．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1）an?n；（2）Tn?3?n1?n?1?????3． 4?24?【解析】（1）当n?2时，an?Sn?Sn?1?n；当n?1时，a1?S1?1，符合上式． 综上，an?n．

（2）bn?n?3n，则Tn?1?31?2?32?3?33?????n?3n，

3Tn?1?32?2?33?3?34?????n?3n?1， ∴?2Tn?3?32?33?????3n?n?3n?1?∴Tn?3?n1?n?1?????3． 4?24?31?3n1?3???n?3n?1，

18．【答案】（1）a?0.03；（2）见解析．

【解析】（1）?a?0.01?0.01?0.05??10?1，∴a?0.03．

（2）由直方图可知，“喵儿”的得分?情况如下：

? 0 0.1 60 0.3 80 0.5 100 0.1 p ①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分， 或者第二组得80分，或者第三组得80分， 则P?A??0.5?0.1?0.5?0.1?0.1?0.5?0.555； ②P???0??0.1?0.1?0.1?0.001，

P???60??0.3?0.1?0.3?0.1?0.1?0.3?0.333， P???100??1?0.001?0.333?0.555?0.111， 分布列如下：

? 0 0.001 60 0.333 80 0.555 100 0.111 p 数学期望E????0?0.001?60?0.333?80?0.555?100?0.111?75.48． 19．【答案】（1）见解析；（2）6． 4【解析】（1）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC． ∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．

取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系：

O?xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(?1，1，0)，

A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)，

∴AB1?1,2,?3，BD???2,1,0?，BA1??1,2,3． ∴AB1?BD?0，AB1?BA1?0，

∴AB1?BD，AB1?BA1，∴AB1?平面A1BD． （2）设平面A1AD的法向量为n??x,y,z?．

????AD?(?1,1,?3)，AA1?(0,2,0)．

????x?y?3z?0??y?0?n?AD?0∵n?AD，n?AA1，∴?，∴?，?，

x??3z2y?0??????n?AA1?0令z?1得n?(?3,0,1)为平面A1AD的一个法向量． 由（1）知AB1?平面A1BD，AB1为平面A1BD的法向量， ∴cosn,AB1?n?AB1n?AB1??3?32?22??6． 4∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为6． 420．【答案】（1）2x?y?2?0；（2）???,4?． 【解析】（1）f??x???2x，g??x??21nx?2?a 因为函数f?x?与g?x?在x?1处的切线平行

所以f??1??g??1?解得a?4，所以g?1???4，g??1???2， 所以函数g?x?在?1,g?1??处的切线方程为2x?y?2?0．

（2）解当x??0,???时，由g?x??f?x??0恒成立得x??0,???时， 21nx?ax?x2?3?0即a?21nx?x?3恒成立， x3设h?x??21nx?x?(x?0)，

xx2?2x?3?x?3??x?1??则h??x??，

x2x2当x??0,1?时，h??x??0，h?x?单调递减，

当x??1,???时，h??x??0，h?x?单调递增， 所以h?x?min?h?1??4，所以a的取值范围为???,4?． x2y21?1；(2)?． 21．【答案】（1）?942c25【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得2?，又由a2?b2?c2，可得2a?3b．

9a由AB?a2?b2?13，从而a?3，b?2． x2y2?1． 所以椭圆的方程为?94（2）设点P的坐标为?x1,y1?，点M的坐标为?x2,y2?， 由题意，x2?x1?0，点Q的坐标为??x1,?y1?．

由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|=2|PQ|， 从而x2?x1?2??x1???x1???，即x2?5x1．

?2x?3y?66易知直线AB的方程为2x?3y?6，由方程组?，消去y，可得x2?．

y?kx3k?2??x2y26?1??由方程组?9，消去y，可得x1?． 429k?4?y?kx?由x2?5x1，可得9k2?4?5?3k?2?，两边平方，整理得18k2?25k?8?0， 81解得k??，或k??．

928当k??时，x2??9?0，不合题意，舍去；

9112当k??时，x2?12，x1?，符合题意．

251所以，k的值为?．

2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）m?1?2或1．

?3x?t?m??2【解析】（1）直线l的参数方程是??m?0,t为参数?，

1?y?t??2

消去参数t可得x?3y?m．

由??2cos?，得?2?2?cos?，可得C的直角坐标方程：x2?y2?2x． ?3x?t?m??2（2）把??t为参数?，代入x2?y2?2x， ?y?1t??2得t2??3m?3t?m2?2m?0．

?由??0，解得?1?m?3，∴t1t2?m2?2m，

∵PA?PB?1?t1t2，∴m2?2m??1，解得m?1?2或1． 又满足??0，m?0，∴实数m?1?2或1．

115??23．【答案】（1）?x|x??或x?3?；（2）??m?．

322??【解析】

???x?3,x??2?1?（1）函数f?x??2x?1?x?2=??3x?1,?2?x?，

2?1?x?3,x???21令f?x??0，求得x??，或x?3，

31??故不等式f?x??0的解集为?x|x??或x?3?；

3??（2）若存在?x0?R，使得f?x0??2m2?4m，即f?x0??4m?2m2有解， 15?1?由（1）可得f?x?的最小值为f????3??1??，

22?2?155故??4m?2m2，解得??m?．

222

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