大学物理(机械工业出版社)第13章课后答案

第十三章 振动

#13－1 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：x = 0.1 cos (8πt +2π/3 ) (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。

解：周期T = 2π/ ω= 0.25 s

振幅A = 0.1m 初相位φ= 2π/ 3

Vmay = ωA = 0.8πm / s ( = 2.5 m / s ) amay = ω2 A = 6.4π2m / s ( = 63 m / s 2)

13－2 一质量为0.02kg的质点作谐振动，其运动方程为：x = 0.60 cos( 5 t ?π/2) (SI)。 求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。

dxπ??3.0sin(5t?) (SI) dt2 x0?3.0ma??mω2x

解：（1） v? （2） F?ma??mωx

x?A/2时,F??0.2?52?0.3??1.5N

13－3 如本题图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k = 24N/m，重物的质量m = 6kg，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。

解：设物体的运动方程为：

x = A c o s (ωt +φ)

恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：

F? 0.05 = 0.5 J

当物体运动到左方最位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5J，即：

1 / 2 kA2 = 0.5 J ∴A = 0.204 m

A即振幅

ω2 = k / m = 4 ( r a d / s )2 ω= 2 r a d / s 按题目所述时刻计时，初相为φ= π

∴ 物体运动方程为

x = 0.204 c o s (2 t +π) ( SI )

m x

习题13－3图

213－4 一水平放置的弹簧系一小球。已知球经平衡位置向右运动时，v=100cm?s?1，周期T =1.0s，求再经过1/3秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。 解：设小球的速度方程为：

v = vm c o s (2π/ Tt +φ) 以经平衡位置的时刻为t = 0

根据题意t = o时 v = v0 = 100 c m s-1 且 v＞0

∴vm = v0 φ= 0 小球的动能 Ek0 = 1 / 2 m v02

过1 / 3秒后，速度为 v = v0 c o s ( 2π/T. 1/ 3) = - V0 / 2

动能 Ek = 1 / 2 m v2 = 1 / 2m 1/ 4v02

∴EK / E0 = 1/ 4 动能是原来的1/ 4倍

13－5 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度 ????5.5 ? 103 kg?m－3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

解：（l）取图所示坐标。当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为

F??Gmxmx2

3 式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即mx?4??x/3。令

k?4??Gm/3，则质点受力

F??4??Gmx/3??kx

因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为

T?2?m/k?3?/G??5.07?103s

13－6 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物。现使平板沿竖直方向

－

做上下简谐运动，周期为0.50s，振幅为2.0?102 m。求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？

分析：按题意作示意图，如图所示。物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P和板支持力FN作用，FN是一个变力。按牛顿定律，有

d2yF?mg?FN?m2 （l）

dt

由于物体是随板一起作简谐运动，因而有

d2ya?2??A?2cos(?t??)dt，

则式（l）可改写为

FN?mg?mA?2cos(?t??)

（2）

(1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位?t??，由式（2）可求板与物体之间的作用力。

（2）由式（2）可知支持力FN的值与振幅A、角频率?和相位?t??有关。 在振动过程中，当?t????时FN最小。而重物恰好跳离平板的条件为FN = 0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。

解：（l）由分析可知，重物在最低点时，相位?t???0，物体受板的支持力为

FN?mg?mA?2?mg?mA(2?T)2?12.96N重物对木块的作用力FN'与FN大小相等，方向相反。 （2）当频率不变时，设振幅变为入分析中式（2），可得

A'。 根据分析中所述，将FN = 0及?t????代

A??mg/m?2?gT2/4?2?6.2?10?2m

（3）当振幅不变时，设频率变为?'。 同样将FN =0及?t????代入分析中式（2），可得

v????1?2?2?mg/mA?3.52Hz

13－7 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t = 0时位移为0.03m，且向x轴正方向运动。求：（1）t = 0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x =－ 0.03m 处向x轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？

?1解：（1）由题意知A = 0.06m、??2?/T??s由旋转矢量图可确定初相则?0???3，

振动方程为

x?0.06cos(?t??3)

当t = 0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为

x?0.06cos(v??2??3)?0.052m

dx???0.06?sin(?)??0.094　 m/s dt23d2x??a?2??0.06?2cos(?)??0.513　 m/s2

23dt（2）质点从x = ?0.03 m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图中的位置M转至位置N，矢量转过的角度(即相位差)???5?/6。该过程所需时间为

?t?????0.833s

13－8 有一密度均匀的金属T字形细尺，如本题图所示，它由两根金属米尺组成。若

它可绕通过点O的垂直纸面的水平轴转动，求其微小振动的周期。

解：T字形尺的微小振动是复摆振动。 T字形尺绕轴O的转动惯量J。 由两部分组成，其中尺OD对该轴的转动惯量为

J1?1ml23

尺AB对轴O的转动惯量为J2，根据平行轴定理可得

J2?故有

113ml2?ml2?ml21212

172ml12

JO?J1?J2?习题13－8图

图中T字形尺的质心C至点O的距离为lC，由质心定义可得lC?0.75l。 则T字形尺的振动周期为

T?2?JO2mglC?2?17l18g?1.95s

13－9 如本题图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为m1的空盘.现有一

质量为m2的物体从盘上方高为h处自由落到盘中，并和盘粘在一起振动.问：

（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2）此时的振幅为多大？

分析：原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1变为m1 +m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变。 由于A?x0?(v0?)2因此，确定初始速度v0和初始位移x02是求解振幅A的关键。 物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v0，这也是该振动系统的初始速度。 在确定初始时刻的位移x0时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。 因此，本题中初始位移x0，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移。 解：（l）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为

T?2???2?m1k12 可见T'?T，即振动周期变大了。

（2）如图所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O。 则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即

T??2????2?(m?m)k习题13－9图

x0?l1?l2?m1gm1?m2mg?g??2kkk

式中l1?m1gk为空盘静止时弹簧的伸长量，l2?(m1?m2)gk为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量。 由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后

的速度

v0?m2m2v?m1?m2m1?m22gh

式中v?2gh是物体由h高下落至盘时的速度。故系统振动的振幅为

A?x02?(v0??)2?m2gk1?2kh(m1?m2)g

本题也可用机械能守恒定律求振幅A。

13－10 一质量M的物体在光滑水平上作谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm / s，求（1） 周期T；（2）当速度是12cm / s时的位移。

解：设振动方程为x = A c o sωt，则

x= Aωsinωt

（1） 在x = 6 c m，x= 24 c m / s状态下有

6 = 12 c o sωt ， 24 = ?12ωsinωt，

解以上两式得

ω = 4 /

???3, ∴T= 2π/ ω= 3π/ 2 = 2.72 s

（2） 设对应于x= 12 c m / s的时刻为l 2，则由 x= - Aωsinωt 得

12 = - 12×4 /3×sinωl 2，

解得上式得

sin2ωl2 = 0.1875

相应的位移为

x = A co sωt 2 = ±A1?sinωt2??10.8cm

13－11 若在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2cm而平衡，经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2cm的振动，试证明此振动为谐振动；若选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。

解：设小球的质量为m，由弹簧的倔强系数k = m g / l 0

选平衡位置为原点，向下为正方向，小球在x处，根据牛顿定律得

m g ? k ( l 0 + x ) = m d2 x / d t2

将倔强系数k = m g / l 0代入整理后得

d 2 x / d t 2 + g x / l 0 = 0

∴此振动为谐振动

2??gl/0?9.10π令 ω

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