ABAQUS混凝土塑性损伤模型(2)

单轴循环加载时的等效塑性演化方程也可以进行推广如下：

它在单拉或单压就退化为方程4.5.2-4的形式。 多轴情况

有必要把硬化变量的演化规律推广到多轴情况下，在Lee and Fenves (1998)的工作基础上，假定有效塑性应变率可由下式计算得到：

式中

和

分别是塑性应变率张量

是拉压应力权重系数，若有效应力张量三个主值全是正时为1，反之为0。Macauley 运算 定义为：

4.5.2-7，因为此时单拉时

。单轴加载情况下方程4.5.2-8退化为单轴定义式4.5.2-4和

，单压时

。若果对塑性应变率张量的主值进

的最大和最小主值。

行排序如：

以写成一下矩阵形式：

，那么多轴普通应力条件下等效塑性盈利率演化可

，

弹性刚度退化

。

混凝土塑性损伤模型认为混凝土的弹性刚度退化时各向同性的，且可以用一个单标量写成如下形式：

式中的刚度退化标量变量d必须与单轴单调加载时的响应一致，同时还要能够反应在循环加载退化机制带来的复杂性。对普通多轴加载情况ABAQUS假定，

形式上与单轴相同，只是现在通过应力权重系数将它推广到多轴情况了：

显然，很容易验证方程4.5.2-10的标量退化式与单轴加载时是一致的。

很多准脆性材料（混凝土）的试验表明，当拉应力换到压应力时由于裂纹闭合受压刚度将会恢复。但是另一方面，当受压是的微裂纹压碎时，由受压换到受拉时的受拉刚度将不会恢复。鉴于此，ABAQUS默认条件下，假定及即只有受压刚度恢复而没有受拉刚度恢复。图4.5.2-3就是默认条件下的一个应力循环的曲线图 图4.5.2-3 默认条件下（

，

.）单轴应力循环曲线图（拉-压-拉）

屈服条件

本模型的屈服条件基于Lubliner 等人(1989)建议的屈服函数，它综合了Lee and Fenves (1998)的修正以考虑拉压不同时强度的不同演化规律。用有效应力表达时的屈服函数为：

式中和是无量纲材料参数

时有效静水压力，

是Mises等效应力，

是有效应力张量的偏量部分，而

是的代数最大主值，函数

形式如下

式中和 分别为有效拉压内聚力。在双轴受压时，方程4.5.2-11就退化为Drucker-Prage屈服条件，材料系数可由单轴受压强度和双轴受压强度比值给出：

一般材性试验给出的单双受压强度比值在1.10 -1.16之间，那么取值在0.08 -0.12 之间(Lubliner et al., 1989)

系数只在三维受压时才出现在公式中，它可以通过比较沿拉压子午线的强度比值得到。根据定义拉子午线是满足主应力空间中的轨迹线，而压子午线是满足

的轨迹线。其中，和 是应力主值。显然易求得，沿拉压子午线其表达式为：

，

。

当时，响应的屈服准则为：

令证明当

，为静水压力，那么就有。事实上大多数试验也并没有

，那么

是变化的，因此就可求出。对于混凝土来说一般取。

时，沿拉压子午线的屈服函数就简化为：

同理令，那么。

在偏片面上典型的屈服面见图4.5.2-4，图4.5.2-5是平面应力时的屈服面。 图4.5.2-4：对应于不同的

值在片平面内的屈服面。

图4.5.2-5平面应力时的屈服面。

流动法则

本模型取的是非关联流动法则：

塑性势G取为Drucker-Prager双曲函数的形式

式中是p–q面内高围压时的膨胀角，是单轴抗拉强度，是势函数偏心率，它描述势函数向其渐近线逼近的速度（当偏心率趋于零时，流动势函数趋于直线）。流动势函数的连续光滑性保证了流动方向的唯一性。当围压很高时流动势函数渐近于线性Drucker-Prager势函

数，且与静水轴的交角是90度。在“Models for granular or polymer behavior,” Section 4.4.2,中对这个势函数有详细的讨论。

因为采用了非关联流动法则，刚度矩阵将会出现非对称。 粘塑性归一化

在隐式分析程序里，当材料模型出现软化或刚度退化是往往难收敛。有些收敛困难可以通过对模型的粘塑性归一化来解决。本模型可用粘塑性归一化，因而就允许有效应力超出屈服面。根据Duvaut-Lions归一化粘塑性应变定义为：

式中是粘性参数表征粘塑性系统随时间的松弛，是非粘性backbone model的计算塑性应变。同理，在粘塑性体系里，粘性刚度退化变量为。

d是非粘性backbone model的刚度退化变量，那么粘塑性模型的应力-应变关系就为：

当粘塑性系统的解就趋近于非粘性情况。其中t代表时间。当用较小的粘性系数时就可以对其进行粘塑性归一化，通常能够改善模型在软化段内的收敛速度，而不会影响计算结果。 模型数值计算

模型采用后退欧拉法进行计算，该方法在ABAQUS里对塑性计算用的很多。在平衡迭代中采用了与积分算子相容的雅克比矩阵。

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