股权价值评估中流动性折扣的期权模型方法(2)

是亚式看跌期权。 （一）BSP 模型

1993年，David BH Chaffee提出了利用购买标准欧式看跌期权的相关成本估计流动性折扣价值的模型，简称BSP模型。依据的是Black-Scholes（1973）期权定价模型，并假设：Black-Scholes欧式看跌期权定价模型中，看跌期权的价值为：

P(S,T)?Xe?rTN(?d2)?SN(?d1)

其中：S 是资产的现行价格； X 是执行价格；

T 是到期期限，在此，则为到清算变现的时限; r 是无风险利率；

?是股票收益率的标准差。

2?S?????ln????r???TX2????，d?d??Td1?21?T

N（d1）和N（d2）是标准正态分布的累积分布函数

在使用BSP 模型对非上市公司股权流动性缺乏折扣进行估值时，假设S=X=1，则 BSP 模型的简化为：P(T)?e?rtN(?d2)?N(?d1)

其中：d1?ln?S/X????r??2/2?T?/(?

T)；

d2?d1??T因此，如果一项缺乏流动性资产的出售价格为1，具有流动性的同样资产出售价格为1+P(T)。那么，运用BSP 估计的流动性缺乏折扣为P(T)/(1+P(T))。实际计算中，期权到期时间等于缺乏流动性的股权预期上市之前的时间；波动率通常基于可参照上市公司公开交易股票的历史回报波动率调整得到。

任何资产的最低价值是零，因此，BSP 的上限价值就是看跌期权的执行价格。随着基础资产波动性的增加和到期期限的延长，较低的资产价值出现的可能性增加，因此，看跌期权的价值随之增加。随着无风险利率的增加和支付时间的延迟，期权价值减少，上限的现值会下降。Chaffee认为，对于大多数小型私人公司，其股权价值回报波动率符合60％-70％

-80％-90％曲线，两年期看跌期权的价格范围大约是股权市场价格的28%-41％之间；四年期看跌期权的价格范围介于32％至49％之间。而后，随着时间的增加，看跌期权的价格不会大幅度改变。

由于采用了执行价格等于资产现行价格的标准看跌期权，所以BSP模型的估值只针对前述“损失I”，不涉及“损失II”。 （二）LBP 模型

与Chaffee不同，Long staff通过引入回望式看跌期权（Look back put option）建立了估计股权流动性缺乏折扣的模型，简称LBP 模型。

222???rTT?????????1 折扣最大值=2??N(d)???exp???2?2?8?????其中：?是公司股票收益率的年化标准差； T 是股票流动性受限的时间长度；

N ( d ) 是标准正态分布累积分布密度，其中，d??2T/2

Long staff所使用的回望式看跌期权执行价格为期权期限内股权的最高市场价格，从而使得期权持有者能够获得前述“损失I”和“损失II”的全额补偿。因此，LBP 模型估计的是股权交易中流动性缺乏折扣的上限。Long staff分析了波动性介于10%到30% 之间的股权流动性折扣，其研究结果如表 1 所示。

表1 Long staff 研究的流动性缺乏折扣上限（%）

流动性限制期限 1天 5天 10天 20天 30天 60天 90天 180天 1年 标准差=10% 0.421 0.944 1.337 1.894 2.324 3.299 4.052 5.768 8.232 标准差=20% 0.844 1.894 2.688 3.817 4.691 6.683 8.232 11.793 16.384 标准差=30% 1.268 2.852 4.052 7.768 7.1 10.153 12.542 18.082 26.276 2年 5年

（三）A A P 模型

11.793 19.128 26.643 40.979 38.605 65.772 Finnerty使用平均价格亚式期权（Average-price Asian put option）估计流动性折扣，简称AAP模型。平均价格亚式期权的执行价格为期权期限内的资产市场价格的平均值。与LBP 模型中所使用的最高价格回望式看跌期权相比，其认为即使不存在流动性限制，投资者也很少能以最高价格变现资产，所以假设以平均价格卖出更为合理。所以，其提供的是针对“损失I”和“损失II”的部分补偿。

对于不支付股利的股权，亚式看跌期权的价值为：

D(T)?V[eNr/vT]?vT/2?Nr/vT?vT/2其中：

rt????V

2??2???2TT?ln?2?e????2??T?1????2ln(e??2T?1)

设定 V=1

D?T??[eNr/vT]?vT/2?Nr/vT?vT/2rt????

相应的流动性缺乏折扣为：D(T)/(1+D(T)) 四、流动性折扣期权估值模型结果的比较与思考 （一）不同估值模型的计算结果比较

如前所述，基于对流动性受限资产“损失I”和“损失II”补偿程度的不同假设，产生了三种不同形式的流动性缺乏折扣期权估值模型。其中，假设全额补偿“损失I”和“损失II”的LBP模型，是流动性缺乏折扣的上限。以下我们通过对期权价值影响因素的分析，三个模型对于流动性缺乏折扣估值结果进行比较。

无论是标准期权还是奇异期权，其价值主要受六个因素的影响：合同名义金额、资产当前市场价格、期权执行价格、资产市场价格的波动率、无风险利率以及期权到期期限。当使用前述三个期权模型估计流动性缺乏折扣时，除执行价格以外的其他五个影响因素都是相同

的。当估值结果采用折扣率的方式反映时，合同名义金额和资产当前价格均取1，实际数额对期权价值无影响。

据此，本文分别计算了不同波动率、无风险利率以及期权到期期限情况下，三个模型的流动性折扣估计结果。其中，针对低波动率（10%~20%）、低无风险利率（3%）和短期（1 年）的估计结果列于表2 中；针对中等波动率（50%~60%）、中等无风险利率（6%）和中等期限（5 年）的估计结果列于表 3 中。

表2 流动性折扣期权模型计算结果一

波动率 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

BSP模型 2.56% 2.92% 3.27% 3.63% 3.98% 4.33% 4.68% 5.03% 5.38% 5.72% 6.07%

AAP模型 4.00% 4.19% 4.38% 4.58% 4.77% 4.97% 5.17% 5.37% 5.56% 5.76% 5.96%

LBP模型 7.61% 8.33% 9.05% 9.76% 10.47% 11.17% 11.86% 12.54% 13.22% 13.90% 14.56%

表3 流动性折扣期权模型计算结果二

波动率 50% 51% 52% 53% 54% 55% 56% 57% 58% 59% 60%

BSP模型 20.07% 20.47% 20.87% 21.26% 21.64% 22.02% 22.39% 22.76% 23.12% 24.47% 23.82%

AAP模型 42.98% 43.22% 43.44% 43.66% 43.87% 44.07% 44.27% 44.46% 44.64% 44.82% 44.99%

LBP模型 57.47% 58.16% 58.85% 59.52% 60.19% 60.83% 61.47% 62.10% 62.71% 63.31% 63.91%

表 2 和表 3 中的计算结果表明：(1) 无论采用何种模型，随着流动性受限时间的延长以及波动率的增加，流动性折扣都会增加；(2) 对于低波动性，BSP模型计算的折扣会超过AAP 模型计算的折扣，因为在亚式期权合约中，流动性受限时期内的高价格和低价格都会被包含在内。然而，随着波动性的增加，AAP计算得到的折扣会大于BSP计算得到的折扣。（3）LBP模型计算得到的折扣会比AAP和BSP 模型结果都大，这与其他学者有关LBP 模型估算的是流动性缺乏折扣上限的结论是一致的。 （二）实际运用不同估值模型时的考虑

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