北京理工大学数学专业数学分析Ⅰ试题(MTH17001,H0171001)(2)

课程编号：MTH17001 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2011.11.5

2011级数学专业数学分析Ⅰ期中考试试卷

（函数与极限、导数与微分）

一、计算题（每小题5分）

??11?11?1.研究极限lim?1?2??和lim?1?2??；

x?0?0?x?0?0?xx?xx?????x23??2.求数列极限lim?sin?cos?； 3.设y??x?2?arctanx?1?，求y?；

n??nnx?1??4.设y?arcsin?nx?x?x2?3x，求y?；

?x?arctant2t?2y?ty?e?525.设y?y?x?由?确定，求

dy； dx6.设函数f有二阶导函数，且f??0??f???0??1。又设y?x??flntanx。求y的一阶和二阶导函数y?和y??，以及y???二、（10分）设yn???????????和y????的值。

4???4?13?cosnsin?n?6?2?,n?1,2,?。严格按数列极限的??N语言

定义证明limyn?n??1，并证明数列?yn?中有最大数和最小数。 3三、（15分）设x0?10,xn?1?6?xn,n?0,1,2,?。求证：数列?xn?收敛并求其极限。若取初值x0为任意其它的正实数c，那么数列?xn?是否还收敛？说明理由。

?1?cosx,x?0?x??四、（15分）设f?x???0,x?0，试研究f在x?0点是否连续？f在x?0点是

?1?x2sin,x?0x??否可导？f的导函数f?在x?0点是否连续？

五、（10分）已知f在x?0点的某邻域内有定义，且f在x?0点连续，又知函数极限

ef?x??1lim?1，求证：f在x?0点可导，并求f?0?和f??0?的值。 x?01?x?1六、（10分）设x0是多项式p?x??x?a1xnn?1???an?1x?an的最大实零点，其中n?1，

a1,a2,?,an是常数。求证：p??x0??0。

若y0是上述多项式p的最小实零点，那么你对p??y0?的符号有何结论？

七、（10分）设f在闭区间?a,b?内可导，且f?a??f?b?,f??a??f??b??0。求证：f在开区间?a,b?内必取得最大值和最小值。 八、（选作题10分）

1.设f在?0,???内连续，且对任意实数c，方程f?x??c在?0,???内只有有限个根或无解。已知f在?0,???内无上界，求证：limf?x????。

x???2.设f,g在有界闭区间?a,b?上连续，且存在数列xn??a,b?,n?1,2,?，使得对任意的n，都有g?xn??f?xn?1?。求证：至少存在一点???a,b?，使得f

????g???。

课程编号：MTH17001 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2012.11.17

2012级数学专业数学分析Ⅰ期中考试试卷

（函数与极限、导数与微分）

一、（10分）设yn?nn?sinncos?n?n?2?,n?1,2,?。严格按照数列极限的??N语

言定义证明limyn?1，并证明数列?yn?中有最小数。

n??二、计算题（每小题6分）

?n4?n503?xsinx?xcosx（1）求极限lim；（2）求数列极限lim?； ??x?01?cosxln21?x2n???2??????12（3）设x?0,y?arctanx?2x?arccos，求y?；

x?12x?2ax（4）设a是任意实数，y?arctan??3x，求y?；

2?axx2?42n2?dy?x?arccos1?t（5）设可微函数y?y?x?由参数方程?确定，其中t?0，求；

2dx??y?t1?ty?1（6）已知函数f有二阶导函数，且f??0??1；又知可微函数y?y?x?由方程y?xe?1d2z确定。设z?z?x??f?lny?sinx?，求dz?0?及2dx三、（10分）设数列?xn?满足：xn?0,xn?敛，并求其极限。

。

x?04?3，其中n?1,2,?。求证：数列?xn?收2xn?1?11?1?,x?0?36xx??四、（14分）设f?x???0,x?0，试研究f在x?0点是否连续？f在x?0点

?1?x2cos,x?0x??是否可导？求f的导函数并研究f?在x?0点的连续性。

nn?1五、（10分）设有多项式p?x??x?a1x???an?1x?an，其中n?1，ak是常数， k?1,2,?,n。已知p??x0??0。求证：至少存在一个??x0，使得p?????0。

六、（10分）设f在?0,???内可导，且f??x??k?0。又f?0??0，求证：f在?0,???内有且仅有一个零点。

七、（10分）设f在?0,???内二阶可导，且f???x??0。又设f?0??0。 求证：?x1?0,x2?0,f?x1?x2??f?x1??f?x2?。

八、（10分）设f在?a,b?内连续，f在?a,b?内可导，且f?a??f?b?，又设k1,k2?0，且k1?k2?1，求证：在?a,b?内存在两个不相同的点x1,x2， 使得

k1k2b?a??。 ??f?x1?f?x2?f?b??f?a?（共110分）

课程编号：MTH17001 北京理工大学2013-2014学年第一学期 2013.11.9

2013级数学专业数学分析Ⅰ期中考试试卷

（函数与极限、导数与微分）

一、（10分）设x0??3,x1?4,xn?1?xn?2xn?1,n?1,2,?。试研究极限lim二、计算题（每小题5分） （1）求数列极限lim?cosn??xn?1。

n??xn????4n2?2?，其中n是正整数；

??x2x?n2（2）求函数极限lim??33?61??； x?02??xx?1x（3）设y?arctan4?2?arccos1，求y?； x2?12x?2aln?4?xy?arctan?（4）设a是任意实数，

2?axx??xx?42，求y?；

??x?arcsin1?t2???（5）设可微函数y?y?x?由方程?确定，已知y????2，求曲线

22?3???ty?2ty?1???y?y?x?在点?x0,y0???,?2?处的切线方程。

?3?三、（10分）设f?x??xsinx。求证：对任意的X?0，f在区间?X,???内无界，但

x???时f不是无穷大量。

?1?x3?1,x?0?x??四、（15分）（1）设f?x???0,x?0，试研究f在x?0点是否连续？f在x?0?1?x2cos,x?0x??点是否可导？求f的导函数并研究f?在x?0点的连续性； （2）设数列?xn?满足：xn?0,xn?求其极限。

五、（10分）设?xn?是实数列，且limxn?0。按定义证明：limn??32?6，其中n?1,2,?。求证：数列?xn?收敛，并2xn?1x1?x2???xn?0。

n??n六、（10分）根据定义证明定理：设y?f?u?,u???x?构成复合函数y?f???x??。若

limf?u??A,lim??x??a，其中a和A是实常数，且x充分大时，??x??a，则x??u?ax??时函数f???x??的极限存在，且limf???x???limf?u??A。

x??u?a举例说明：若在上述定理中去掉条件“x充分大时，??x??a”，则结论不成立。 七、（10分）设f在?a,b?内可导，且f??a??0,f??b??0。求证：在开区间?a,b?内必存在一点x0，使得对任意的x??a,b?，恒有f?x??f?x0?。 八、（10分）已知f在?0,???内连续，且f?x??0。又设limfx????f?x?????，求证：f在?0,???内必取得最小值。

九、（10分，附加题）设f在?0,???内连续，且有界，求证：存在正数列?xn?发散到??，

f?2xn??f?xn??使得lim???0。 n???（共110分）

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