北京理工大学数学专业数学分析Ⅰ试题(MTH17001,H0171001)

课程编号：MTH17001 北京理工大学2010-2011学年第一学期 2010.11

2010级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验

1.（10分）设x?0。试写出十个与x等价且尽可能不同的无穷小量。 2.（15分）设xn?2?sin?n?1?12?,n?1,2,?。

（1）求证：对任意自然数n，xn?（2）用??N语言证明limxn?n??11?； 2n1，并研究数列?xn?中是否有最大数和最小数。 23.（15分）用???语言叙述x?0时函数f收敛和发散的严格含义，并用两种方法证明

x?0时函数f?x??cos1发散。 x??x?ax?b??0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意4.（10分）已知lim??x?????x?1?x?义。

?1?x?cosx?5.（10分）研究函数f?x??????在x?0点极限的存在性。 x??6.（15分）证明定理：设y?f?u?,u???x?构成复合函数y?fx???u??1x???x??。

???x??的极

若lim??x???,limf?u??A，其中A是实常数，则当x???时，函数f限存在，且limf??x??limf?u?。

x???u????7.（15分）（1）叙述limf?x????的严格含义；

x??（2）叙述f在???,???内取得最大值的严格含义；

（3）设f在???,???内连续，且limf?x????。求证：f在???,???内必取得最大值。

x??8.（10分）设?n,bn?0，且成立极限limn?n???bn??1??p?0。 ?bn?1?求证：数列?bn?收敛，且limbn?0。

n??

课程编号：MTH17001 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2011.10.24

2011级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验

1.（10分）设x?0。试写出十个与x等价且尽可能不同的无穷小量。 2.（15分）设xn?2?sin?n2?1?1?,n?1,2,?，用??N语言证明limxn?n??1，并研究2数列?xn?中是否有最大数和最小数。 3.（15分）设f?x??11cos。按定义证明：f在x?0点的任意邻域内无界，但x?0时xxf不是无穷大量。

4.（10分）已知lim?x????义。

??x?ax?b??0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意

??x?1?x?5.（15分）x?0是函数f?x????1?x?cosx????的哪种类型的间断点？说明理由。 x??1x6.（10分）证明定理：设y?f?u?,u???x?构成复合函数y?f若lim??x???,limf?u??A，其中A是实常数，则函数fx?0?0u?????x??。

???x??在x?0点的左极限

存在，且limf??x??limf?u?。

x?0?0u????7.（15分）（1）叙述limf?x????的严格含义；

x??（2）叙述f在???,???内取得最大值的严格含义；

（3）设f在???,???内连续，且limf?x????。求证：f在???,???内必取得最大值。

x??8.（10分）以下二题任选一题：

（1）设实数列?xn?满足lim?xn?xn?2??0，求证：limn???xn?xn?1?0。

n???nx??（2）已知f在???,???内连续，且limfx???f?x????，求证：limf?x???。

课程编号：MTH17001 北京理工大学2012-2013学年第一学期 2012.10.29

2012级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验

1.（10分）设xn?22?cosnsin?n?1?2?,n?1,2,?，用??N语言证明limxn?1。

n??并研究数列?xn?中是否有最大数和最小数。

2.（10分）试判断x?0时，下列变量中哪些与x是等价无穷小量（说明理由）。

1?x2sinx2（1）1?e （2）1?x?1 （3）2?2cosx （4）ln （5）

1?xx?x3.（15分）（1）用肯定语气叙述f在x?0点的任意邻域内无界的严格含义和x?0时f不是无穷大量的严格含义；（2）设f?x??但x?0时f不是无穷大量。

11cos，求证：f在x?0点的任意邻域内无界，xx1?cos2xx2?2x?n?1?4.（15分）求数列极限和函数极限： lim?；lim。 ?；lim2x??x?2x?2n??n?2???x????cosx?1?x?5.（10分）x?0是函数f?x??????的哪种类型的间断点？说明理由。 x??6.（10分）证明定理：设y?f?u?,u???x?构成复合函数y?f若lim??x????,limf?u??A，其中A是实常数，则函数fx?0?0u???2n1x???x??。

???x??在x?0点的右极

限存在，且limf??x??limf?u??A。

x?0?0u?????7.（15分）设?xn?是一个实数列，满足对任意实数??0，存在正整数N，使得当

m?N,n?N时，恒有xm?xn??。求证：（1）?xn?是有界数列；（2）若二区间?0,1?和xn?1。 ?1,2?中每一个都含有?xn?中的无穷多项，则limn??8.（15分）（1）叙述limf?x????及f在???,???内取得最小值的严格含义；

x??（2）设f在???,???内连续，且limf?x????。求证：f在???,???内取得最小值。

x??选作题：设f在?0,???内连续，且对任意实数c，方程f?x??c在?0,???内只有有限个根或无解。已知f在?0,???内无上界，求证：limf?x????。

x???

课程编号：MTH17001 北京理工大学2013-2014学年第一学期 2013.10.23

2013级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验

1.（10分）设xn?22?sinnsin?n?1?2?,n?1,2,?，按定义证明limxn?1。

n??2.（10分）设b0?1,b1?2,bn?1?bn?bn?1,n?1,2,?。又设rn?bn?1,n?1,2,?。按定义bn（??N语言）证明limrn?A?n??5?1，并研究数列?rn?中是否有最大数和最小数。 23.（10分）（1）用肯定语气叙述f在x?0点的任意邻域内无界，但x?0时f不是无穷大量的严格含义；举一个这种函数的例子； （2）用肯定语气叙述数列?xn?发散的严格含义。

24.（15分）求数列极限和函数极限：（1）lim?1?sin?4n?1?，其中n是正整数；

??n??????4n（2）limx??cos2x?1?x????x2； （3）limx?atanx?tana?，其中a?。

x?a25.（15分）试判断x?0时，下列变量中哪些与x是等价无穷小量（说明理由）。 （1）1?e （2）2?2cosx （3）ln1?x1?x2x3 （4）1?1?x1?cosx3

?1?x?cosx?6.（10分）x?0是函数f?x??????的哪种类型的间断点？说明理由。 x??x?x2???xn???。7.（10分）设?xn?是实数列，且limxn???。按定义证明：lim1

n??n??n8.（10分）（1）叙述limg?x????及g在???,???内取得最大值的严格含义；

x??（2）设f在???,???内连续，且limx??f?x?2?1。求证：函数在gx?fx?2x????2x???,???内必取得最大值。

9.（10分）设f在?0,???内连续，且对任意实数c，方程f?x??c在?0,???内只有有限个根或无解。已知f在?0,???内无上界，求证：limf?x????。

x???附加题（10分）设f在?a,???内连续，又设极限limx???f?x?lim?A。 x???x

f?2x??f?x??A存在，求证：

x课程编号：H0171001 北京理工大学2016-2017学年第一学期 2016.10.26

2016级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验

1.（14分）（1）用肯定语气叙述数列?xn?发散的严格含义； （2）设f?x??大量。

2.（12分）设a1?2?11sin。求证：f在x?0点的任意邻域内无界，但x?0时f不是无穷xx11,an?1?2?,n?1,2,?。试用??N语言证明数列?an?有极42?an限，并利用数列极限的性质证明数列?an?中必有最大数。 3.（14分）求数列极限和函数极限：（1）lim1?sin?4n?2n???2?4n，其中n是正整数；

（2）limcotx?cota?cos2x?1，其中0?a?； （3）lim。 2x?ax??x?a2?x???2x?1?x?cos2x?4.（10分）问：x?0是函数f?x??????的哪种类型的间断点？说明理由。 x??5.（14分）（1）设实数列?an?和?bn?满足liman?0及?bn?有界，按极限定义证明：

n??1nlim?akbn?1?k?0； n??nk?1（2）设实数列?an?和?bn?收敛，且liman?A,limbn?B。利用（1）的结论证明：

n??n??1nlim?akbn?1?k?AB。 n??nk?16.（14分）（1）叙述limf?x????及f在???,???内取得最大值的严格含义；

x??（2）设f在???,???内连续，且limx??f?x??1。求证：函数g?x??f?x??2x2在2x???,???内必取得最大值。

7.（10分）设函数g在闭区间?0,1?内连续，g?0?0,g?1??1，且g?x?不恒等于x。求证：存在x0??0,1?，使得或者0?g?x0??x0，或者x0?g?x0??1。

8.（12分）设f在?0,???内连续，且对任意实数c，方程f?x??c在?0,???内只有有限个根或无解。求证：limf?x????的充要条件是f在?0,???内无上界。

x???

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