不等式的微分法和积分法的证明(2)

2.1利用积分性质证明不等式 若f(x),g(x)在区间[a,b]上可积,其中x?[a,b]. 例1.证明当x?0时，有x?fx?gx??xaftdt??xagtdt，

x36?sinx?x?x36?x5120.

证明：当x?0时，有 sinx?x.

?1?cosx??x0sintdt?12x2?x0tdt?12x2

?cosx?1?

?sinx??x0costdt??x01?312tdt?x?216x,

3 即 sin1?cosx?x?x?16x0x. (t?4?x0sintdt?12x?2?16t)dt?312x?2124x.

4?cosx?1?124xx1214??costdt??(1?t?t)dt. 00224x.

即 sinx?x?16x?31120x.

5 由上可知 当x x?

16x?sinx?x?3?016时有

3x?1120x.

52.2利用分部积分法来证明不等式

若u(x),v(x)为[a,b]上的连续函数，则有定积分分部积分公式：

?au(x)v?(x)dx?u(x)v(x)?a??au?(x)v(x)dx.[6] 例2.设f(x)的一阶导数在[0,1]上连续，且f(0)?

6

bbbf(1)?0,求证：

?10f(x)dx?1014maxf?(x).

0?x?110 证明：Q?f(x)dx??f(x)d(x?1212112)

1 ? ? 由于f(1)? ? 则?0110f(x)(x?12f(1)?)???(x?0012)f?(x)dx. 12)f?(x)dx.

f(0)??10(x?f(0)?0, 故由上式可知

1f(x)dx???(x?012)f?(x)dx.

10f(x)dx??10(x?12)f?(x)dx??x?12f?(x)dx.

令M ?0 Q?01?maxf?(x)0?x?11，则

x?12f?(x)dx?M?10x?12dx.

x?12dx?14?1(x?21121)dx??20(12?x)dx

? ??01.

f(x)dx?10?10x?12f?(x)dx?14M?14maxf?(x)0?x?1

即 ?f(x)dx?14maxf?(x).

0?x?12.3利用积分中值定理证明不等式

积分第一中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]， 使的?abf(x)dx?f(?)(b?a)

积分第二中值定理推论：设函数f(x)在[a,b]上可积，若g(x)为单调函数，则存在??[a,b]，使的 ?abf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx.a?b[7]?

ba 积分中值定理多应用于涉及

7

f(x)与?f(x)dx或?f?(x)dxab时

使用[8].

例3.1设f(x)为[0,1]上的非负单调减的连续函数，利用积分中值定理证明：对于0??成立[9].

证明:由题设知f(x)满足第一积分中值定理的条件， ???????1,有下面不等式??0f(x)dx??????f(x)dx.f(x)dx?f(?)(???),?????.

f(?)(???),从而

f(?)(???)? ?0?1?f(x)dx?f(?)??????1?f(x)dx.

因此可得( (1??????0?1)??0f(x)dx????f(x)dx.

)?f(x)dx??????f(x)dx.

又因0???1????1.

????1,故有

?0f(x)dx??????f(x)dx 成立.

例3.2. 设f(x)为[a,b]上的连续递增函数，则成立不等式 ?baxf(x)dx?a?b2?baf(x)dx.

证明：要证上述不等式成立，只要证 ?ba(x?a?b2)f(x)dx?0成立即可.

由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理，则存在??[a,b],使

?ba(x?a?b2)f(x)dx?f(a)?(x?a?a?b2)dx?f(b)?(x??ba?b2)dx.

8

?f(a)?(x?aba?b22)dx?(f(b)?f(a))?(x??2ba?b2)dx

?(f(b)? ?[f(b)? 故?baf(a))[b??2?a?b2(b??)].

f(a)]b??2(??a)?0.

xf(x)dx?a?b2?baf(x)dx成立.

2.4二重积分性质法证明不等式 解题思路：当命题涉及积分?abf(x)dx,?g(x)dx,?f(x)g(x)dx,aabb

且f(x)与g(x)均单调增（减）时，可利用二重积分的保序性解题. 例4.设f(x),g(x)均为[a,b]上的单调增的连续函数，证明： (b?a)?abf(x)g(x)dx??baf(x)dx?bag(x)dx.

分析：命题符合上述特征，可利用二重积分的保序性，且 ?abf(x)dx?b?baf(y)dy,

?abf(x)dx?g(y)dy?a??abbaf(x)g(y)dxdy.

证明：由于f(x),g(x),同为单调增函数，令 F(x,y)?[f(x)?且总有[f(x)?f(y)][g(x)?g(y)].

f(y)][g(x)?g(y)]?0,

由二重积分保序性有 ?a?a(f(x)g(x)?即2?a?abbbbf(y)g(x)?f(x)g(y)?f(yg)y())dxdy?0,，

f(x)g(y)dxdy?b??abbabf(x)g(y)dxdy?b??abbabaf(y)g(x)dxdy. f(x)dx?g(x)dx.

ab 于是有(b?a)?a 成立.

f(x)g(x)dx??af(x)dx?g(y)dy?a?3．微分法和积分法的结合

9

在许多实际问题上，不等式证明的问题都涉及微分和积分的结合[10]. 例. 设a?0, 函数f(x)在[0,a]上连续可微，证明： 1f(0)??aa0f(x)dx??a0f?(x)dx.

a证明：?且

f(x)在[0,a]上连续可微， 所以积分?(a?x)f?(x)dx存在，0 ?0(a?x)f?(x)dx??0(a?x)d[f(x)] ?(a?x)f(x)?0??0 ?af(0)??0?af(0)?aaaaaf(x)d(a?x)

f(x)dx.

?a0(a?x)f?(x)dx??a0f(x)dx,

?af(0)?a?a0(a?x)f?(x)dx??a0a0f(x)dx

??0(a?x) ?a?0?f(0)?1af?(x)dx??f(x)dx.

f?(x)dx??aa0f?(x)dx.

?aa0f(x)dx??0f?(x)dx.

微积分在实际运用中具有较高的价值.用微积分方法证明不等式是一种有效的证明方法，上面的几种方法是在证明不等式中常用的高等数学方法.

参 考 文 献

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