不等式的微分法和积分法的证明

不等式的微分法和积分法的证明

作 者：徐 辉 指导教师：廖 冬

摘要：不等式是数学的重要类容之一，求解不等式的方法众多，利用微积分理论和方法，可使不等式证法思路变的简单，本文归纳和总结了一些证明不等式的方法和技巧，突出了微积分在不等式证明中的重要作用.

关键词：不等式、 证明、 微积分、 应用

不等式是数学的重要类容之一，在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用.在不等式的许多解法中，往往需要较高的技巧[1].利用高等数学中微积分思想可以使不等式的证法思路变的简单.本文着重阐述利用高等数学中的微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理等众多方法解不等式的证明问题.

1. 微分法

1.1利用微分中值定理证明不等式[2]

微分中值定理：如果函数y?(1).在区间[a,b]上连续， (2).在区间(a,b)内可导， 则在区间(a,b)内至少存在一点?，使

f?(?)?f(b)?f(a)b?af(x)满足下列条件

.

拉格朗日中值定理适合证明函数f(x)与其导函数之间的不等

1

式，若观查不等式出现f?(x)在区间上的函数值之差及f(x)的表达式，则拉格朗日中值定理是我们自然的选择，应用中值定理证明不等式的关键是构造适当的函数f(x)和闭区间[a,b]，使f(x)在[a,b]上满足条件. 例1.证明

h1?h?In(1?h)?h,其中h?0.

证明：设f(x)? f?(x)?11?xIn(1?x)， 则

考虑在[0,h]上，f(x)连续且在(0,h)可导，由中值定理得 f(h)?f(0)?In(1?h)?In1?In(1?h)?f?(?)h, f?(?)h,其中??(0,h)

?In(1?h)?又因 ?11?h11?h?f?(x)?11???1,

?In(1?h)?f?(?)h?h,其中h?0

原式得证，即

11?h?In(1?h)?h.

1.2利用函数的单调性证明不等式

函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内递增（递减）的充要条件是：f?(x)?0（或f?(x)?0）[3].可利用此定理证明不等式. 例2.证明：当x?0时，x? 证明：先证sin 令f(x)?sinx?x,

16x?sinx?x.

3x?x, 则f(0)?0,f?(x)?cosx?1?0.

由此可知当x?0时，f(x)是递减的， ?当x?0时，有f(x)?

f(0)?0, 即sinx?x

2

再证左边不等式，令F(x)?sin 且F?(x)?cosx?1?12x2x?x?16x3，则F(0)?0

（当看不清F?(x)的正负号时重复上述思路），

可知F??(x)?0,所以当x?0F??(x)??sinx?x,由于sinx?x时，有

F?(x)?F?(0)?0, 故xx?16x?sinx.

3?0时，F(x)?0, 即

所以当x?0时，x?16x?sinx?x.

31.3用极值的方法证明不等式

在不等式的证明中，我们常常构造函数f(x)，f(x)构造好后，如果无法得到f?(x)?0或f?(x)?0，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值的方法证明. 例3.a为常数，且a 证明：设f(x)?ex?In2?1,试证明x?2ax?1?e2x，其中x?0.

?(x?2ax?1).

2x?f?(x)?e?2x?2a.

则f??(x)?ex当x??2， 令f??(x)?0?x?In2.

In2时，有f??(x)?0,当x?In2时，有f??(x)?0.

In2处具有极小值.

所以函数f?(x)在x? 又因为f?(In2)?eIn2 故f?(x)? ? ??2In2?2a?2(1?In2)?2a?0.

f?(In2)?0

）.

（x?0f(x)严格单调递减，

f(x)?f(0)?0， 即原命题得证.

1.4利用函数的凹凸性证明不等式

利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中

3

的不等式关系，构造一个凸函数或凹函数来证明，由定义及判别法有：

f(x)在某区间上（二阶可导）为凸（凹）函数

则有下列不等式成立.

x1???xnn)?1n[f(x1)???f(xn)],?f??(x)?0(f??(x)?0f(x1???xnn)?1n[f(x1???xn] ,（f(）

由此可证明一些不等式，特别是含有两个或两个以上变元的[4].

a?b?c例4.证明不等式(abc) 证明：设f(x)? f?(x)?Inx f??(x)?1x3?abc, 其中a,b,cabc均为正数.

xInx,x?0, 则

?1,

, 可知f??(x)?0成立.

所以f(x)? f(

a?b?c133a?b?c333xInx)?13在x?0时为严格凸函数， 则有

(f(a)?f(b)?f(c)), 从而

?(f(a)?f(b)?f(c)),)a?b?c 即

(a?b?c?abc.

abc有因

abc?a?b?c33,所以

a?b?c (abc)a?b?c?(a?b?c3c)a?b?c?abc.

abc ?(abc)3?abc.

ab1.5利用泰勒公式证明不等式

当涉及到二阶或更高阶导数的命题时，可考虑用泰勒公式证明不等式.其关键是选择在恰当的特殊点（一阶导数值的点、区间端点，最值点、中间点、平均值点）展开[5]. 例5.设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)?

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f(1)?0,minf(x)??1,求证：

0?x?1 max0?x?1f??(x)?8.

证明：设f(x)在x?a(0?a?1)处取得最小值，所以f(a)??1, 由费

马定理可知a为极值点，f?(a)?0. 由泰勒公式f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?f??(?)2(x?a)2,f??(?)2(x?a)2

=?1?

其中?位于a与x之间， ?f(0)?f(1)?0, 所以有 f??(?1)2f??(?2)2a,?1?(0,a),

2 0??1? 0??1?令f??(?1(1?a),?2?(a,1)2

)?c1,f??(?2)?c2, 则由上可知

0??1? 0??1? ?c1?2a2c12c22a,

2(1?a),

2,c2?2(1?a)122.

（1） 若a? max0?x?1,则c1?8

f??(x)?f??(?1)?c1?8

12,则1?a?12,则c2?8.

（2），若a?由（1），（2）可知 max0?x?1

f??(x)?8.

2．积分法

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