随机过程考试真题(2)

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组

??1?0.3?1?0?2?0.7?3???0.7??0.2??0??2123 ???0??0.8??0.3?123?3??1??2??3?1?解上述方程组得平稳分布为

?1?878,?2?,?3? 2323235、设马尔可夫链的状态空间I?{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

?0.30.40.300???0.60.4000??P??01000?

??000.30.7??0?0?0010??求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：

（1）由上图可知，状态分类为G1?{1,2,3};G2?{4,5}

（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平

均返回时间。

A、对G1常返闭集而言，解方程组

1 3 5 2 4 ??1?0.3?1?0.6?2?0?3???0.4??0.4??1??2123 ???3?0.3?1?0?2?0?3??1??2??3?1?解上述方程组得平稳分布为

?1?则各状态的平均返回时间分别为

3725937,?2?,?3? 159050t1?1?1?15190150,t2??,t3?? 37?2259?337B、对G2常返闭集而言，解方程组

??1?0.3?1?1?2???2?0.7?1?0?2 ?????112?解上述方程组得平稳分布为

?1?则各状态的平均返回时间分别为

107,?2? 1717t1?1?1?17117,t2?? 10?276、设?N(t),t?0?是参数为?的泊松过程，计算E?N(t)N(t?s)?。 【解答】

E?N(t)N(t?s)??E??N(t)?N(t?s)?N(t)?N(t)???2?E??N(t)?N(t?s)?N(t)????E??N(t)???E?N(t)?E?N(t?s)?N(t)??E??N(t)????t??s??t?(?t)22

??t(1??t??s)7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni记在i第层进入电梯的人数。假定Ni相互独立，

且Ni是均值为?i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电梯，

?pj?iij?1。令Oj＝在第j层离开电梯的人数。

（1）计算E(Oj) （2）Oj的分布是什么

（3）Oj与Ok的联合分布是什么

【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

以Nij记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则Nij是均值为?ipij的泊松变量,且全部

Nij(i?0,j?i)相互独立。因此：

(1) E[Oj]?E[?Niij]???ipij

i(2)由泊松变量的性质知，Oj??N是均值为??p的泊松变量

ijiijii(3) 因Oi与Ok独立，则P(OiOk)?P(Oi)P(Ok)??ii!e????kk!e????k?ii!k!?为期望。e?2?，

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,t?h)内，

它都以概率 h?o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pij(t)及平稳分布。 【解答】参见教材习题5.2题 依题意，由limpij(?t)?t?t?0?qij(i?j)得，qij?1(i?j)，柯尔莫哥洛夫向前方程为

'pij??2pij(t)?pi,j?1(t)?pi,j?1(t)，

由于状态空间I?{1,2,3}，故

pij(t)?pi,j?1(t)?pi,j?1(t)?1，

所以

'pij??2pij(t)?1?pij(t)??3pij(t)?1，

解上述一阶线性微分方程得：

pij(t)?ce由初始条件

1?t31?， 3?1,i?j pij(0)??0,i?j?确定常数c，得

t?12?13?e,i?j??33pij(t)?? 1?t11??e3,i?j??33故其平稳分布

?j?limpij(t)?,j?1,2,3

t??13

1、有随机过程{?(t)，-?

?1?,0???2?1.解：f??????2?

??0,其它R???s,t??E????s???t????2?2??01Asin??s???Bsin??t??????d?2?1?AB??cos???t?s?????cos???t?s??2?????d? ??4?0?1ABcos???t?s????,???s,t???22、随机过程?(t)=Acos(?t+?)，-?

m??t??E???t???E?Acos??t?????EAE?cos??t????1?2?20?def?5?d???cos??t???d??5?

?0?m?,???t???

R??t,t????E??t???t????EAcos??t???Acos???t???????EAE?cos??t???cos???t???????2????

8?20?8?40?5?55?d???cos??t???cos???t??????d??5??5?d????cos???cos?2?t????2???d???84sin5?def??5cos??d??5??R????20?

所以具有平稳性。

1??t??limT???2TT?T?Acos??t???dt?limTAsin?Tcos??0?m?

T????T故均值具有各态历经性。

??t???t???1?limT???2T?lim?A22?T?Acos??t???Acos???t??????dt

A2TT???2T?T?cos??t???cos???t??????dtcos???R??t?故相关函数不具有各态历经性。

3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为?的Poisson过程。 （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：

??1???4?1P?N???0??e2?e?2 ??2??（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为?N???0?，在未来半小时仍无顾客到来可表

???1??2???示为?N?1??N???0?，从而所求概率为：

???1??2???

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库随机过程考试真题(2)在线全文阅读。