随机过程考试真题

来源：网络收集时间：2019-01-05 下载这篇文档手机版

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1、设随机过程X(t)?R?t?C，t?(0,?)，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。

（1）求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；（2）求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设?W(t),???t???是参数为?的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；

且对任意的???t??，W(t)与R均独立。令X(t)?W(t)?R，求随机过程

?X(t),???t???的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即??180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

?0.30.70???P??00.20.8?

?0.700.3???（1）求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为

P{X0?1}?1,P{X0?2}?P{X0?3}?0

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间I?{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

?0.30.40.300???0.60.4000??P??01000?

??000.30.7??0?0?0010??求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设?N(t),t?0?是参数为?的泊松过程，计算E?N(t)N(t?s)?。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni记在i第层进入电梯的人数。假定Ni相互独立，且Ni是均值为?i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电梯，

?pj?iij?1。令Oj＝在第j层离开电梯的人数。

（1）计算E(Oj) （2）Oj的分布是什么

（3）Oj与Ok的联合分布是什么

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,t?h)内，

它都以概率 h?o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pij(t)及平稳分布。

1有随机过程{?(t)，-?

2（15分）随机过程?(t)=Acos(?t+?)，-?

3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：

?1?2?1?P????3?1??6试对经过长时间后的销售状况进行分析。

121923?0?5?? 9?1?6??5设{X(t),t?0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t?0}是一个马尔科夫过程。

6设?N(t),t?0?是强度为?的泊松过程，?Yk,k=1,2,??是一列独立同分布随机变量，且与?N(t),t?0?独立，令X(t)=?Yk,t?0，证明：若E(Y12

k=1N(t)7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8设???t?,???t????是平稳过程，令??t????t?cos??0t???,???t???，其中?0是常数，?为均匀分布在[0,2?]上的随机变量，且???t?,???t????与?相互独立，R?(?)和S?(?)分别是???t?,???t????的相关函数与功率谱密度，试证：（1）???t?,???t????是平稳过程，且相关函数：

R?????1R????cos?0? 2（2）???t?,???t????的功率谱密度为：

S?????1?S?????0??S?????0?? 49已知随机过程?(t )的相关函数为：

R?????e

???2，问该随机过程?(t )是否均方连续？是否均方可微？

1、设随机过程X(t)?R?t?C，t?(0,?)，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。

（1）求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；（2）求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1）F(x)??x??f(t)dt，则f(t)为密度函数；

?1?,a?x?b（2）X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f(x)??b?a，分布函数

?0,其他?0,x?a??x?aa?b(b?a)2F(x)??,a?x?b，E(x)?，D(x)?；

212?b?a1,x?b???e??x,x?0（3）参数为?的指数分布，概率密度函数f(x)??，分布函数

?0,x?0?1?e??x,x?011，E(x)?，D(x)?2； F(x)?????0,x?0（4）E(x)??,D(x)??2的正态分布，概率密度函数f(x)?1e?2??(x??)22?2,???x??，

分布函数F(x)?1?2??x??e?(t??)22?2若??0,??1时，其为标准正态分布。 dt,???x??，

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

C为常数，（1）因R为[0,1]上的均匀分布，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知，

?1?,C?x?C?tX(t)为[C,C?t]上的均匀分布，因此其一维概率密度f(x)??t，一维分布

?0,其他?0,x?C??x?C函数F(x)??,C?X?C?t；

?t1,x?C?t?（2）根据相关定义，均值函数mX(t)?EX(t)?相关函数RX(s,t)?E[X(s)X(t)]?t?C； 21Cst?(s?t)?C2； 32st（当s?t时为方差函数） 12协方差函数BX(s,t)?E{[X(s)?mX(s)][X(t)?mX(t)]}?22【注】D(X)?E(X)?E(X)；BX(s,t)?RX(s,t)?mX(s)mX(t) 求概率密度的通解公式ft(x)?f(y)|y'(x)|?f(y)/|x'(y)|

2、设?W(t),???t???是参数为?的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且

对任意的???t??，W(t)与R均独立。令X(t)?W(t)?R，求随机过程

?X(t),???t???的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

2依题意，W(t)~N(0,?|t|)，R~N(1,4)，因此X(t)?W(t)?R服从于正态分布。故：

均值函数mX(t)?EX(t)?1；