线性代数练习题及答案精编(3)

?2??112. 解：A???1??1?1?11?2??1??初行变2113??0???012?2a?????00?11?1??0?10100100?13??02?? 213?1103?a??对增广矩阵做初行变后可知当a?11时，原方程组有解， 3?x1?x3?1??1?x1??1?33?????????2??x2??x3?2?x2???1??k?，通解为：. ??0?,k为任意常数?x??1?x?x33????3????????2?2??x4??0??x4?3?3?0??21?100?????13. (1)解：A??1?13????010?,?1,?2,?3线性无关,为其最大无关组.

初行变?32?1??001??????1020??1006?????(2)解：A??0101???0101?,?1,?2,?3为其最大无关组.

?1?112??001?3??????1,?2,?3,?4线性相关.

?1??214.解：A??3??4?234??1??初行变345??0???0456?????0567??0?1?2??123?,?,?为其最大无关组.秩为2.

000?12?000???1??215.解：A???1??1?20??10?2????0?4??011??,?R(A)?2,?t?3满足要求. ???t500t?3?????0?2??000??1??111??11????16. 解：A??123???012?,?向量组线性相关,?t?5满足要求.

?13t??00t?5?????四．证明题

1. 证明：右乘A?1，得A?1ABA?1?A?1BAA?1，?AB?BA且A?1存在,分别左乘、或BA?1?A?1B，结论得证。

2.证明：由性质(?A)(?B)???(AB),现在?A?1??A??(?1)(?1)A?1A?A?1A?E. 又由性质知AB?E?B?1?A，故??A??1??A?1.

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