线性代数练习题及答案精编(2)

?x1?x3?4?有无穷多组解,同解方程组为：?x2??2x3?5，x3为自由未知量,原方程组的通解为：

?x?0?4?x1???4??1???????x52??????k??2?, k任意常数 ?x3??0??1????0???0???x??????4???

12当a为何值时下列线性方程组有解？有解时用向量形式表示出它的通解

?2x1?x2?x3?x4??2?x?2x?x?x?3?1234 ??x?x?2x?2x?a234?1?x1?x3?x4??1??2??1 B?解:??1??1?1?11?2??12??2113??0112?2a??00???0?11?1???002100110010103??2?2??0???1??0?0??0?110013??02?，当a?1时, R(A)?R(B)?3,线

12??0a?1??0?11100000?3??02?，知R(A)?R(B)?3?4, 故?12?00??，x3为自由未知量,

?1?0性方程组有解。B??0??0??x1?x3?3?原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：?x2??x3?2?x?2?4?x1???3??1???????x2?1?2???????k原方程组的通解为：, k任意常数 ?x3??0??1????2???0???x??????4???13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组 （1）?1?(2,1,3);?2?(1,?1,2);?3?(0,3,?1);

（2）α1=(1,0,1), α2=(0,1,-1), α3=(2,0,1) α4=(0,1,2)

?210???解：（1）A??1?13??32?1????1?13???01?2?? ?001???向量组?1,?2,?3线性无关，且?1,?2,?3就是一个最大无关组

?1020??1020?????A?01010101解：（2）????

?1?112??00?13?????向量组?1,?2,?3,?4线性相关，?1,?2,?3或?1,?2,?4是最大无关组 14 已知向量组

?1??1234?，?2??2345? ，?3??3456?，

?4??4567?，求向量组的秩。

解

:

?1?2?A??3??4?234534564??5?6??7???1??1?1??1?211131114??1?1??1???1??1?0??0?120013001??4?0??0???1??0?0??0?110012001??3?0??0??R(?1,?2,?3,?4)?2

15已知向量组?1??122，求t。

?11? ，?2??20t0? ，?3??0?45?2?的秩为

?1?2解:A????1??1?20??120??12????0?4??0?4?4??01t5??02?t5??02?t???0?2?2????0?2?0????00??1? ?5?0??若R(?1,?2,?3)?2,则2?t?5,所以t?3. 16讨论向量组?1??111? ，?2??1组线性相关。

23? ，?3??13t? ，当t为何值时，向量

?111??111?????2?解: A??123??01?13t??02t?1?????1??11??012?? ?00t?5???若向量组线性相关,则R(?1,?2,?3)?R(A)?3 所以t?5?0,即t?5

四 证明题

1．设A,B相乘可交换，且A可逆，证明A与B相乘也可交换.

?1?1?1证：由AB?BA 得B?ABA 故BA?AB.

?1

2．设A是可逆的n 阶矩阵，求证??A?证： 由??A?

?1?1??A?1.

??A??A?1A?E. 故??A??1??A?1.

线性代数练习题答案

一．选择题

１．（Ｃ） ?|AB|?|A||B|?|0|?0。 ２．（Ｂ） 可代入验算。

?1000???３．（Ａ,Ｃ,Ｄ）例如A??0100?４．（Ｂ,Ｄ）部分组也含向量组

?0000???3?4本身。５．（Ｃ）?是AX??的任意解，?0是AX?B的特解时，?0??是

AX?B的全部解．

６．B??（Ｃ）

７．（Ｂ）D?８．（Ｃ） 二．填空题

a?b?a2?b2?0，由克莱姆法则知有唯一解。 ba

?x1???2?????１．?x2???1?k，k是任意常数．２．

?x??0??3????20??52?????３． X?1，有关的2?????1?1??11?3??1?2?|A|???2?56??8

?10????1 2???1?1?三．计算题

１．解：化为三角形行列式得：D?40

13?13?115?5?11?6?50?115?5?6?5 D????11?5??12?5??40

011?52?5?110?1000?110２．解：由范得蒙行列式结论得：D?(3?1)(4?1)(2?1)(4?3)(2?3)(2?4)?12 ３．解：按第一行展开计算得：D?x4?16

４．解：将２,３,４行加到第一行提公因式化三角形得：D?(3x?a)(a?x)3

?102???５．解：A??010?，R(A)?2

?000???６．解：|B|?|A?1|?|A|?1?11? |A|203??2??,??146??3?2?3????1７．解：(A,E)?(E,A?1)初行变?0????12?1?315122?15??12?5??15?25，

??15???X?A?1B???1?

??17??15?

８．解：A?1同上题，X?BA?1??01?73??2??5?3??2353152310???? ??43?532346153110?12345?初行变?10９．解：增广矩阵A???1?1111??????01???2173??(行最简阶梯4?3?阵)，

7?x1??5?x1???5?7??2?3x3?2x4?33?3??????????2442x?x2??3x3?x4?3?2???3??3???1??k?k?，. ??x??1?1?0?2?0?,k1,k2为任意常数x?x33??3??????????0??????x4?x4?1????x4??0??１0. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：

?x1??3x3?3x4?x1???3??3??0??????????x?x?2x?1?2?x2??1???2??1?34?k?k?，. ??x??1?1?0?2?0?,k1,k2为任意常数x?x33??3????????????0????x4?x4?1?????x4??0???3??3??????1???2?令?1???,?2???,?1,?2为对应导出组AX??的一个基础解系。

10?????0??1?????１1. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：

?x1?x3?4?x1??1???4????????x??2x?5?2?x2???2??5?3?k?,k为任意常数. ，???????x10?x3?x3?3??????0??x??0??x4?0????4????1????2??令????,?为对应导出组AX??的一个基础解系。

1???0???

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