[数学理]2011届高考模拟试题分类（大纲版）： 数列

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1. （2011贵州四校一联）在等差数列{an}中，a3?a5?2a10?4，则此数列的前

13项的和等于（ A ） A．13 B．26 C．8 D．162．(2011

豫南九校四联)

设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab?ab?…?ab? （ A ）

1210A．1033 3. （2011

B．1034 C．2057

nD．2058

n乐山一调）等差数列?a?的前n项和S，若a1?a5?a7?4则S9a,8?a2?8，

等于（A ）

A.108； B.96； C.28； D.12；

?????????4. （2011乐山一调）在RtDABC中，?C?90,AB?c，沿向量AB的方向，点

M1,M2,?,Mn?1将线段AB分成了n等份，设A?M0,B?Mn，

???????????????????????????????（1）用CA,CB表示CMi，则CMi＝ CMi?1?iCA?iCB

nn??????????????????????????????????2c1（2）nlim?CM0?CM1?CM1?CM2???CMn?1?CMn??3； ???n222参考公式：1?2???n?1n?n?1??2n?1?）

6

????????解析：令CB?a,CA?b，则由CA?CB?0得：

221?3?2???n?n?1? 原式＝lim1?a?b?2?222n???n?nnn?2222c1c? ?limc3? 1?2???n???1?2???n???limn??2??n???n???222n3n35. （2011乐山一调）设数

列?an?,?bn?满足a1?1,2nan?1??n?1?an且

22bn?ln?1?an??1an,n?N*。

2 （1）求数列?an?的通项公式；（2）对一切n?N*，证明

22?an成立；

an?2bn（3）记数列?an?,?bn?的前n项和分别为An,Bn，证明：2Bn?An?4 解：（1）an?n?12（2）证明：

??n…………4分；

2?an?2b?a2?2a?2b?a2?2a?0?b?1a2?a?0?

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bn?1an2?ln(1?an)?a。构造函数f(x)?ln(1?x)?x(x?0) n2f?(x)?f(x?f)??(1?1??x?0?f(x)1?x1?x0?an)?an 0在?0,???内单减，则

所以对一切n?N*，

2?an都成立。………………9分

an?2bn（3）证明：2bn?an2?2ln(1?an)?2an

??an? 2Bn?An?2?b1?b2???bn???a1?a?2222，

2n由?b（2?a）知

2Bn?A?n?122??b1?a2??2?2?b2?a2? n?2……….12分 ?2Bn?An?2a1?2a2???2an?21?22???nn?41?n?n?1222?2??? ?2n?1?(1?1)?Cn?1?Cn?1??n?101?Cn?1n?1?1n??1n? ?2

2?1?41?n?2?4?2B?A?41?n?2?4 ?0?n?n?1n?1n?1nn222????

6. （2011泸州一诊）如果等差数列{an}中，a2?a4?a6?12，那么a1?a2?a3???a7?(C) 7. A. 14

B. 21

nC. 28

nD. 35

，若an?1?3Sn,a1?1，则通项an?

（2011泸州一诊） 设数列{a}的前n项和为S?n????1)???????(an??n?2n(?2)?3?4.

2anan?28．（2011泸州一诊）已知数列

2?2anan1n*)()(n?N)2?an?满足

an?1?,an?0，且

a1?12，

cn?(.

1an}{（Ⅰ）求证：数列

n是等差数列，并求通项

an；

Tn?（Ⅱ）求

Tn?ci?1i的值；

5n（Ⅲ）比较

与2n?1的大小，并予以证明.

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an?1?2anan?2,an?0,n?N?*1an?1?1an?12解：（Ⅰ）∵, 2分

{1an}11数列

1是首项为

1a1，公差为2的等差数列，

2?(n?1)a12a1故

an?a1?(n?1)?12?, 3分

因为

a1?12,

an?2a1(n?1)a1?2?2n?3所以数列{an}的通项公式为

1ncn?(n?1)()2， （Ⅱ）∵

， 4分

∴

Tn?2?1112131n?3?()?4?()???(n?1)()2222， ①

1213141n?1Tn?2?()?3?()?4?()???(n?1)()22222， ②

15分 6分

12131n1n?1Tn?1?()?()???()?(n?1)()2222由①-②得2

1n?1[1?()]1n?13n?32?1?4?(n?1)()??n?112221?2

17分 8分

∴

Tn?3?n?32n,

n?32nTn?5n2n?1?3??5n2n?1?(n?3)(2?2n?1)2(2n?1)nn（Ⅲ）, 9分

5n于是确定

Tnn与2n?1的大小关系等价于比较2与2n?1的大小，

3524由2?2?1?1,2?2?2?1,2?2?3?1,2?2?4?1,2?2?5?1,…,

n可猜想当n?3时，2?2n?1，

证明如下：证法1：（1）当n?3时，由上验算显然成立，

k（2）假设n?k时成立，即2?2k?1，

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则n?k?1时2?2?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1k

，

所以当n?k?1时猜想也成立，

n综合(1)(2)可知，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1，

11分

综上所述，当n?1,2时，

证法2：当n?3时，

Tn?5n2n?1,当n?3时，

Tn?5n2n?1.

12分

2?(1?1)?Cn?Cn?Cn???Cnnn012n?1?Cnn

10分

Tn?5n2n?1.

01n?1n ?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1，

综上所述，当n?1,2时，

Tn?5n2n?1,当n?3时，

12分

9．(2011绵阳二诊)已知{ an }是等差数列，{ bn }是等比数列，Sn是{ an }的前n项和，

12b2a1 = b1 = 1，S2?．

（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式； （Ⅱ）若an∈N*，{ba}是公比为9的等比数列，

n求证：

1S1?1S2?1S3???1Sn?53．

解: 设等差数列{ an }的公差为d，等比数列{ bn }公比为q． （Ⅰ）∵ S2?12b2，∴ a1?a1?d?12b1q，而 a1 = b1 = 1，则 q（2 + d）= 12．①

又 ∵ b2是a1，a3的等差中项，

∴ a1 + a3 = 2b2，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q． ② 联立①，②，解得 ??d?2,?q?3, 或 ??d??5,?q??4. …………………… 4分

n－1

所以 an = 1 +（n－1）· 2 = 2n－1，bn = 3； 或 an = 1 +（n－1）·（－5）= 6－5n，bn =（－4）n－1． …………………… 6分 （Ⅱ） ∵ an∈N*，ba?b1qnan?1?q1?(n?1)d?1?q(n?1)d，

∴

ban?1ban?qqnd(n?1)d?q?9，即 qd = 32． ①

d由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 q?122?d． ②

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∵ a1 = 1，an∈N，∴ d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数， ∴ d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴

Sn?n(1?2n?1)2*

?n2an = 2n－1，

． …………………… 10分

1?2(?112∴

1Sn?1n2?12n?1122(n?0.5)(n?0.5)1S1?1S2131?1312n?12)（n≥2）． 1n?2当n≥2时，

???11Sn1?????1

1＜1?2(?)?2(?)???2()

5572n?12n?111111515?)]??=1?2[(?)?(?)???(＜．

35572n?12n?132n?131显然，当n = 1时，不等式成立． 故n∈N*，

思路2 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项当n≥2时，

1S1?1S2???1Sn?1?1221S1?1S2???1Sn?53．

132开始缩小：

?111111111(?)?(?)???(?) 2242352n?1n?135n?1511111511?． ?1??(???)???4223nn?13nn?13?1?14?12[(121?14)?(1?1)???(1?1n?1)]

10.（12分）已知数列{an}满足a1?0且Sn?1?2Sn?12n(n?1),(n?N*)

（1）求a2,a3,并证明:an?1?2an?n,(n?N*);（4分） （2）设bn?an?1?an(n?N*),求证：bn?1?2bn?1；（4分） （3）求数列{an}(n?N*)的通项公式。（4分）

解答：（1）由已知S2?2S1?1,即a1?a2?2a1?1,a2?1

S3?2S2?3，即a1?a2?a3?2(a1?a2)?3,有a3?4

由

Sn?1?2Sn?12n(n?1)，有Sn?2Sn?1?12(n?1)n(n?2)

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?Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?12n(n?1)?12n(n?1)，

即an?1?2an?n,(n?2) 同时，a2?2a1?1?1,

?an?1?2an?n,(n?N*)

（2）由（1）：an?1?2an?n，有an?2?2an?1?n?1

?an?2?an?1?2(an?1?an)?1 即bn?1?2bn?1

（3）由（2）：bn?1?1?2(bn?1) 而b1?1?a2?a1?1?2，

?{bn?1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ?bn?1?2?2n?1?2，bn?2?1

nnn即an?1?an?2?1，而an?1?2an?n，

n有：2an?n?an?2?1,

?an?2?n?1(n?N*)

n

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