高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一(2)

得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?1m?11m1?2am??2???, 226261(3m?1).………………(8分) 121(3) ∵b1?,bn?1?b2n?bn?bn(bn?1), ………………③

3∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得

1bn?1?111111. ????,即

bn?1bnbn?1bn(bn?1)bnbn?1∴Tn?(分)

111111111.……………(10?)?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2. ∵b1?11144452,b2?(?1)?, b3?(?1)?, 33399981∴Tn?T2?3?∴Sm?分)

175?.………………(12分) b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ……………(1452125239395．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点.

（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.

y22APM?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2 ?AEF2m?n?82?（2）因?BEOFx??AE?AF?4?AB?AF?BF?8，

BE?BF?4??则AF?BF?5.

（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

?(32232?222t223， ?)?(1?)???22?1tttt?6t?6t33??EPF?30 3当t?6时，tan?EPF?22Sn16．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，

32Sn?1（2） 求Sn的表达式及liman的值；

n??S2n（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.

22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)

2Sn?1SnSn?1所以??1?1. ?是等差数列.则Sn?S2n?1?n?liman22?lim???2.

n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2??2， 2n?12n?14n?1?1?n?1???3综上，an??.

?2?n?2??1?4n2?（3）令a?111,b?，当n?2时，有0?b?a? （1） 2n?12n?131?2n?11?1?2n?11. 法1：等价于求证

?2n?1?3?2n?1?3当n?2时，0?111?,令f?x??x2?x3,0?x?, 2n?1333313f??x??2x?3x2?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0，

2223则f?x?在(0,1]递增. 3又0?111， ??2n?12n?1311)?g(),即an?bn.

332n?12n?1所以g(法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3) 2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b) （2）

?(a?b)[(a2?因

ababba?a)?(b2??b)] ?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)] （3） 2222，

所

以

ab3a33b??1?a??1??1??1??1?0222223ba?1)?b(b??1)?0 22a(a?由（1）（3）（4）知an?bn.

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?2222所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

1?a 2????因0?a?2141,则a2?a?a?a?1??0，3a2?2a?3a(a?)?3a(?)?0

339322所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5） 由（1）（2）（5）知an?bn 7． (本小题满分14分)

x2y2设双曲线2?2=1( a > 0, b > 0 )的右顶

ab点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；

????????

第21题

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

b(x – a ), a??????ab?kababkab 解得：OR= (,), 同理可得OQ= (,),

ak?bak?bak?bak?b解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y =

?abab?kabkaba2b2(1?k2)∴|OQ·OR| =|+| =22. 4分

ak?bak?bak?bak?b|ak?b2|????? 设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:

???a2b2k2a2b22

m =2, n = 2, 2222b?akb?ak2

a2b2(1?k2)a2b2k2a2b2∴ |OP| = :m + n = 2+ 2=2 ,

b?a2k2b?a2k2b?a2k2???222

∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .

∴无论P点在什么位置，总有|OP| = |OQ·OR| . 4分

???2

?????a2b2(1?k2)（2）由条件得：2= 4ab, 2分

b?a2k24b2?ab即k = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2ab?4a2

17 2分 4

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