高考专题强化训练 - 数列8(2)

∴Tn?(4n?3)(T1?n?1)

若{bn}为等差数列，则T1?1?0,T1?1即b1?1 ∴bn?8n?7(3)an?14n?3224n?3?24n?3?4n?1n?N*

∴an?

?4n?1?24n?3

12∴Sn?a1?a2???an????(4n?1??124n?1?1(5?1)?(9?124n?1?1

5)

4n?3)?n?N*????????12分

17.（北省三校联合体高2008届2月测试)已知数列{an}的首项a1?1，a2?3，前n项和????为Sn，且Sn?1、Sn、Sn?1分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，点B分AC所成的比为

2an?1an，设b1?1bn?1?log2(an?1)?bn。

⑴ 判断数列{an?1}是否为等比数列，并证明你的结论；

bn?1?1⑵ 设cn?4n?1nanan?1，证明：?Ck?1。

k?1解 ⑴由题意得

Sn?1?SnSn?Sn?1?2an?1an?an?1?2an?1?????3分

?an?1?1?2(an?1)

n?数列{a?1}是以a1?1?2为首项，以2为公比的等比数列。??????6分

nn*则an?1?2?an?2?1（n?N）]

n⑵由an?2?1及bn?1?log2(an?1)?bn得bn?1?bn?n

?bn?1?n(n?1)2，???????????????????????8分 2nn?1bn?1?1则cn?n4n?1anan?1?(2?1)(2n?1)?12?1n?12n?1?1????????10分

1??11??11?1?1?1?C???????????????????k2?122?12334nn?12?12?12?12?12?12?1????????k?1 ?1?12n?1?1?1??????12分

18.(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列?2n?1?中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 － － － － － － － － －

设aij是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数。 （Ⅰ）若amn?2007，求m,n的值； （Ⅱ）已知函数f(x)的反函数f?1若记三角形数表中从上往下数第n(x)?8x(x?0)为，

n3行各数的和为bn，求数列?f?bn??的前n项和Sn。 解：（Ⅰ）∵三角形数表中前m行共有1?2?3???m?∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中第

m(m?1)2m(m?1)2个数，

?1?m?m?1。

2项，即2?m(m?1)22因此，使得amn?2007的m是不等式m?m?1?2007的最小正整数解。

由m?m?1?2007得m?m?2008?0，∴m?∴m?45。

2第45行第一个数是44?44?1?2?1981，∴n?22?1?1?80322??1?27921?44。

2007?19812?1?14.

?1??1n3（Ⅱ）∵f(x)?8x(x?0)，∴f(x)????2?n3x(x?0)。

∵第n行最后一个数是n2?n?1，且有n个数，若n2?n?1将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为?2的等差数列，故bn?n(n?n?1)???2?2n(n?1)2?n。

3?1?∴f(bn)????2?1n31n3n?n()。

223nn?1??1??1??1?故Sn??2???3????n??。用错位相减法可求得Sn?2?(n?2)??

2?2??2??2??2?19.(2007江苏省南京市) 14．已知正项数列{ an }满足Sn+Sn－1＝tan+2 (n≥2，t>0)，a1＝1，其中Sn是数列{ an }的前n项和． （Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）记数列{

122

解：∵a1＝1 由S2+S1＝ta2+2，得a2 ＝ta2，∴a2 ＝0（舍）或a2＝，

1

2

anan+1

}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N都成立．求证：0＜t≤1

*

tSn+Sn－1＝tan+2 ① Sn－1+Sn－2＝tan－1+2 (n≥3) ②

①－②得an+an－1＝t（an －an－1）（n≥3），（an+an－1）[1－t（an－an－1）] ＝0， 1

由数列{ an }为正项数列，∴an+an－1≠0，故an－an－1＝（n≥3），

2

2

22

t1

即数列{ an }从第二项开始是公差为的等差数列．

t??1 n＝1 ∴an＝?n－1

n≥2．??t1（2）∵T1＝1＜2，当n≥2时，Tn＝t++++ ?+＝t+ t2(1－) ＝t+ 1×22×33×4(n－1)×nnt2 t2 t2 t2

t2

n－1

nn－1

＜ t+ t2≤2成立，∴0＜t≤1． n 要使Tn<2,对所有的n∈N*恒成立，只要Tn＝t+ t220.(2007山西实验中学模拟)正项数列

{an}满足a1?1,nan?(n?1)anan?1?an?1?0(n?2)

22 （1）求an；

（2）试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式a1?a2?2a3?3a4???(n?1)an?241

121成立；

1?? （3）求证：?1???1?a1?a2???an.

n??n解：（1）nan?(n?1)anan?1?an?1?0?(n?22anan?112??1)(anan?1?1)?0

又?an?1?0,an?0,故13!14!anan?11n!?1n,a1?1,a2?12!

a3?,a4?,....an?????????????4分

1(k?1)!1k!（2）由(k?1)ak?k?1k!??(k?2)

a1?a2?2a3?3a4?...?(n?1)an?1?(从而有2??1n!?11211n!?241121,11!?12!)?(12!?13!)?...[1(n?1)!?1n!]?2?1n!

,即n!?121,?5!?120,6!?720...............9分?n?5取N?5，n?N时，原不等式成立（3）将(1?1n)展开，Tr?1?Cnrn1rnn?1n?2n?r?111()?????? nnnnnr!r!r?0,1,2,?,n (1?1n)n?10!?11!?12!?13!???1n!?1?a1?a2???an????14

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