执信中学2012届高三模拟试题(2)

22两式相减得an?an?1?Sn?Sn?2?an?an?1，所以an?an?1?1(n?3). 23又S12?a1，且a1>0，所以a1=1， ?a1233332，所以(1?a2)2?1?a2，所以a2S2?(a1?a2)2?a1?a2?a2?2a2?0

由a2>0，得a2=2，所以an?an?1?1(n?2)，数列{an}为等差数列， 通项公式an=n. ?????7分

（注：猜对通项公式an=n，给4分） （II）法一：bn?(1?)?a(1?)?令t?1n21n1a?2??1?a n2n1,则bn?t2?(a?2)t?1?a，g(t)?t2?(a?2)t?1?a n2?a3131?时，即a?时，g(t)在(0,]上为减函数，且g()?g(1)， 当24242所以b1?b2?b3??

2?a311?时，即a?时，g()?g(1)，从而b2?b1，不合题意. 24221所以实数a的取值范围为a?. ?????14分

21111?)(??a?2)?0 法二：bn?1?bn?(n?1nn?1n1111??a?2?0，即a?2??对任意n?N*成立 所以

n?1nn?1n1所以实数a的取值范围为a?. ??????14分

2当

20、（1）解法一：令M为(x0,y0)，因为M在抛物线C2上，故x02?4y0，① 又MF1?55，则y0?1? ② 33226，y0?

33由①②解得x0??椭圆C1的两个焦点为F1(0,1)，F2(0,?1)，点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a?MF1?MF2

?(?262262?0)2?(?1)2?(??0)2?(?1)2?4 3333?a?2，又c?1，?b2?a2?c2?3

y2x2?椭圆C1的方程为??1

432262()2(?)483?1??1 解法二： 同上求得M，而点M在椭圆上，故有32?，即

ab29a23b222又c?1，即b?a?1，解得a?4,b?3

22y2x2?椭圆C1的方程为??1

43

（2）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)

????????由AP???PB，可得(1?x1,3?y1)???(x2?1,y2?3)

⑤ ?x1??x2?1??即?

y??y?3(1??)?12⑥ ????????由AQ??QB，可得(x?x1,y?y1)??(x2?x,y2?y)

?x1??x2?(1??)x即?

y??y?(1??)y?12

⑦ ⑧

⑤×⑦得x12??2x22?(1??2)x， ⑥×⑧得y12??2y22?3y(1??2) 两式相加，得(x12?y12)??2(x22?y22)?(1??2)(x?3y)

又点A，B在圆x2?y2?3上，?x12?y12?3,x22?y22?3，且???1 即x?3y?3，故点Q总在直线x?3y?3上 方法二：

????????x?1由AP???PB，可得(1?x1,3?y1)???(x2?1,y2?3)，所以??1

x2?1????????x?x1由AQ??QB，可得(x?x1,y?y1)??(x2?x,y2?y)，所以??

x2?x所以

x?x1x1?1x?x2?2x1x2，所以x??1（*） ?x2?xx2?1x1?x2?223当斜率存在时，设直线为y?k(x?1)?3

当斜率不存在时，由特殊情况得到Q(1,)

?y?kx?3?k222?(1?k)x?2(3?k)kx?k?6k?6?0 ?22?x?y?32(3?k)kk2?6k?6?x1?x2??,x1x2? 221?k1?k代入（*）得x?3k?6，而y?k(x?1)?3，消去k，得x?3y?3 3k?1而Q(1,)满足方程，所以Q在直线x?3y?3上

21．(本题满分14分) 解：（１）f?(x)?231x?m. 由f?(0)?0，得m??1，此时f?(x)??. x?1x?1当x?(?1,0)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(?1,0)上单调递增； 当x?(0,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(0,??)上单调递减.

?函数f(x)在x?0处取得极大值，故m??1.??????????3分

（２）令h(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(x1)?f(x2)(x?x1)?f(x1)，????4分

x1?x2则h?(x)?f?(x)?f(x1)?f(x2).

x1?x2Q函数f(x)在x?(x1,x2)上可导，?存在x0?(x1,x2)，

使得f?(x0)?f(x1)?f(x2).

x1?x2Qf?(x)?1x0?x11?1，?h?(x)?f?(x)?f?(x0)? ??x?1x?1x0?1(x?1)(x0?1)Q当x?(x1,x0)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，?h(x)?h(x1)?0； Q当x?(x0,x2)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，?h(x)?h(x2)?0；

故对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x).??????????8分 （３）用数学归纳法证明.

①当n?2时，Q?1??2?1，且?1?0，?2?0，

??1x1??2x2?(x1,x2)，?由（Ⅱ）得f(x)?g(x)，即

f(?1x1??2x2)?f(x1)?f(x2)(?1x1??2x2?x1)?f(x1)??1f(x1)??2f(x2)，

x1?x2?当n?2时，结论成立. ??????????9分

②

假

设

当

n?(k?k2时

2k结论成立，即当

?1??2?L??k?1时，

f(?1?x1?Lx2???k)x??(1f)x?L(1?2?k?1. x当n，正数?1,?2,L,?k?1满足f)?(时f)设xk?k??1??2?L??1，令m??1??2?L??k，?1?k?1??1m,?2??2m,L,?k??km， 则m??k?1n?1，且

?1??2?L??k?1.

f(?1x1??2x2?L??kxk??k?1xk?1) ?f[m(?1x1?L??kxk)??k?1xk?1] ?mf(?1x1?L??kxk)??k?1f(xk?1) ?m?1f(x1)?L?m?kf(xk)??k?1f(xk?1)

??1f(x1)?L??kf(xk)??k?1f(xk?1) ??????????13分

?当n?k?1时，结论也成立.

综上由①②，对任意n?2，n?N，结论恒成立. ??????????14分

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