执信中学2012届高三模拟试题

执信中学2012届高三模拟考试

数学（理科）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分

1．已知集合M?{x|?3?x?5},N?{x|x??5,或x?5},则M?N?（ ） A．{x|x??5，或x??3} B．{x|?5?x?5} C．{x|?3?x?5} D．{x|x??3，或x?5} 2．复数(i?)等于（ ）

A．8i B．?8i C．8 D．?8

23．与直线l1：mx?my?1?0垂直于点P（2，1）的直线l2的方程为（ ）

A．x?y?1?0 B．x?y?3?0 C．x?y?1?0 D．x?y?3?0

1i3xax(0?a?1)的图象的大致形状是（ ） 4．函数y?x

5．—个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（ ） A．12? B．15? C．24? D．36?

6．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且 乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ） A．240种 B．192种 C．96种 D．48种

7．下列四个判断：

①某校高三一班和高三二班的人数分别是m,n，某次测试数学平均分分别是a,b，则这两 个班的数学平均分为

a?b； 2②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为

c，则有c?a?b；

1n1n③从总体中抽取的样本(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),若记x??xi,y??yi，则回归直线y=bx?a必过点

ni?1ni?1（x,y）

2④已知?服从正态分布N(0,?)，且P(?2???0)?0.4，则P(??2)?0.2

其中正确的个数有：（ ）

A．3个 B． 2 个 C．1 个 D．0个

?x?3y?5?0?xy8．设实数x,y满足：?x?y?1?0，则z?2?4的最小值是（ ）

?x?2?0?A．

1 4B．

1 2 C．1 D．8

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．不等式|x?3|?|x?3|?3的解集是 ．

10．(x?)的展开式中常数项是_______.(用数字作答） 11．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8?32， 则S10等于_______.

31x12????12．已知向量a?(x,1)与b?(4,x)，且a与b的夹角为?，则x? .

13．由5个元素构成的集合M?{4,3,?1,0,1}，记M的所有非空子集为M1，M2，?，M31，每一个

Mi(i?1,2,?31)中所有元素的积为mi，则m1?m2???m31? .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线??2与cos??sin??0（0????）的交点的极坐标

为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB的延长线上任取一 点C，过C作圆的切线CD，切点为D，?ACD的平分线 交AD于E,则?CED? ． 三、解答题：

16．(本题满分12分) 已知函数f(x)?23sin（Ⅰ）求函数f(x)的值域；

2（Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若f(C)?1，且b?ac，求sinA的值.

xxxcos?2sin2. 333

17．(本题满分12分) 李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红

1；L2路线上有B1、B2两个路口，各 233路口遇到红灯的概率依次为，.

45灯的概率均为

（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； ．．（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；

A1 H B1 A2 L1 L2 A3 C B2 （Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

18．（本题满分14分）如图（1），矩形ABCD中，已知

AB?2，

AD?22, MN分别为AD和BC的中点，对

角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起， 使平面ABNM与平面MNCD所成角为60，如图（2） （Ⅰ）求证：BO?DO；

（Ⅱ）求AO与平面BOD所成角的正弦值.

233319．（本题满分14分）已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn?a1?a2???an；

?（I）求证：数列{an}为等差数列，并求出通项公式； （II）设bn?(1?121)?a(1?)，若bn?1?bn对任意n?N*恒成立，求实数a的取值范围。 anan

20．（本题满分14分）

y2x2如图，已知F1、F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的

ab2上、下焦点，其中F1也是抛物线C2:x?4y的焦点，

y F1 M O F2 x 点M是C1与C2在第二象限的交点，且MF1?（I）求椭圆C1的方程；

2225 3（II）已知点P(1,3)和圆O:x?y?b，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点

????????????????Q，满足：AP???PB，AQ??QB（??0且???1），

求证：点Q总在某条定直线上。

21．（本题满分14分）已知函数f(x)?ln(x?1)?mx，当x?0时，函数f(x)取得极大值. （Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数f(x)?ln(x?1)?mx在区间(a,b)内导数都存在，且a??1，则存在

x0?(a,b)，使得f?(x0)?g(x)?f(b)?f(a)。试用这个结论证明：若?1?x1?x2，函数

b?af(x1)?f(x2)(x?x1)?f(x1)，则对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x)；

x1?x2（Ⅲ）已知正数?1,?2,L,?n，满足?1??2?L??n?1，求证：当n?2，n?N时，对任意大于?1，且互不相等的实数x1,x2,L,xn，都有f(?1x1??2x2?L??nxn)??1f(x1)??2f(x2)?L??nf(xn).

参考答案

一、选择题：ABDDCBCB

3??二、填空题：9、?x|x??； 10、?220； 11、60； 12、?2； 13、?1

2???3??14、?2,?； 15、45?

?4?16、解：（1）f(x)?3sin2x2x2x??cos?1?2sin(?)?1 ??????3分 3336∵x?R，

2x??)?1 ????????????????4分 362x??)?1?1 ????????????????5分 ∴?3?2sin(36∴?1?sin(∴函数f(x)的值域为[?3,1] ?????????????6分

（2）f(C)?2sin(∴sin(2C??)?1?1， ???????????????7分 362C???)?1，而C?(0,?)， ∴C?. ????????????8分 3622222在Rt?ABC中，b?ac，c?a?b，?????????????9分

2∴c2?a2?ac， 得()?aca?1?0 ???????????????10分 c解得

a?1?5 ??????????????????11分 ?c2a5?1. ?????????12分 ?c2∵0?sinA?1， ∴sinA?

17、解：（Ⅰ）设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A， ?????1分

0则 P(A)=C3?()3?C3?1?()?2， ?????3分

12121212所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为

1. ?????4分 2（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2. ?????5分

33133339，P(X=0)=(1?)?(1?)?，P(X=1)=?(1?)?(1?)??4510454520339P(X=2)=??. ?????8分

4520随机变量X的分布列为：

X P

所以EX?0 1 2

1 109 209 2019927. ?????10分 ?0??1??2?102020201213?. 22（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y?B(3,)，所以EY?3?

因为EX?EY，所以选择L2路线上班最好. ?????12分

18、解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM?MN, BC?MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD

是

平

面

ABN与

平面

MNC的

平面角，依题意，所以∠

AMD=60o，…………………………………………………………………２分

由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=22,所以，BD=6，由题可知

BO=OD=

3，由勾股定理可知三角形

BOD是直角三角形，所以BO⊥

DO ………………………………………………… 5分

解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EF?CD, OF?CD, 所以，CD?面OEF, OE?CD 又BO=OD，所以OE?BD, OE?面ABCD, OE?面BOD, 平面BOD⊥平面ABCD 过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，………… 8分

所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。……………………11分

M D AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=所以sin∠AOH=

23，BO=OD=3， 32（14分） 3O N

A H C

方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，…

Q（0，0，0），B（B 622，0，0），D（0，，2），O（0，?，1） 222????????62所以BO?（?，?，1），DO?（0，?2，?1)

22????????所以BO?DO?0，即BO⊥DO（5分）

?62（2）设平面BOD的法向量是n?(x,y,z)，可得?x?y+z=0

22??2y?z=0，令y?2可得x??6,z??2所以n?(?6,2,?2) ????62又AO?（?，?，?1)，

22设AO与平面BOD所成角为?

M P D A Q C B O N ????????2sin??cos?AO,n?=（14分）

319.（本题满分14分）

23332333解：（I）由Sn，得Sn?a1?a2???an?1?a1?a2???an?1， 322两式相减得an?Sn?Sn?1?(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?1)?an(Sn?Sn?1)， 2因为an?0，所以an?Sn?Sn?1(n?2) ?????3分

所以an?1?Sn?1?Sn?2(n?3)，

2

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