2012届广东省执信中学高三上学期期中考试（数学理）(2)

P （X＝110）＝X的分布列为：

9981＝． ×1010100 …………9分

X P

50 1 10070 9 10090 9 100110 81 100∴EX＝50×19981＋70×＋90×＋110×＝104． 100100100100 ……12分

18、解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE,CE， 由AB?AD,CB?CD，得：

AE?BD,CE?BD

??AEC就是二面角A?BD?C的平面角，

?cos?AEC?3 ??????????2分 3在?ACE中，AE?6,CE?2

AC2?AE2?CE2?2AE?CE?cos?AEC

?6?2?2?6?2?3?4 3?AC?2 ??????????4 分

（Ⅱ）由AC?AD?BD?22，AC?BC?CD?2

?AC2?BC2?AB2,AC2?CD2?AD2,

??ACB??ACD?90? ??????????6分 ?AC?BC,AC?CD，

又BC?CD?C

?AC?平面BCD． ??????????8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD?平面ACE

BD?平面ABD

∴平面ACE?平面ABD ??????????10分 平面ACE?平面ABD?AE，

作CF?AE交AE于F，则CF?平面ABD，

?CAF就是AC与平面ABD所成的角， ??????????12分

?sin?CAF?sin?CAE?CE3． ???????????AE314分

方法二：设点C到平面ABD的距离为h， ∵

VC?ABD?VA?BCD ?????????

?10分

1111???22?22sin60??h???2?2?2 3232?h?23 ???????3???12分

于是AC与平面ABD所成角?的正弦为

sin??h3． ????????AC3???14分

方法三：以CB,CD,CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C?xyz，则

A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0)D(0,2,0)． ???10分

z 设平面ABD的法向量为n?(x,y,z)，则

n?AB?0， n?AD?0，?2x?2z?0,2y?2z?0 取x?y?z?1，则n?(1,1,1)， ----------12分 于是AC与平面ABD所成角?的正弦即

F C B ． x E D y A |n?CA||0?0?2|3sin????33?2|n||CA| ??????????14分

19、解: 函数F?x??f?x??g?x??x?'a?lnx的定义域为?0,???. xa1x2?x?a ∴F?x??1?2??. 2xxx ① 当??1?4a?0, 即a??1'2时, 得x?x?a?0,则F?x??0. 4

∴函数F?x?在?0,???上单调递增. ??2分

② 当??1?4a?0, 即a??1'时, 令F?x??0, 得x2?x?a?0, 4解得x1??1?1?4a?1?1?4a. ?0,x2?22(ⅰ) 若?1?1?1?4a?a?0, 则x2??0. 42'∵x??0,???, ∴F?x??0, ∴函数F?x?在?0,???上单调递增. ?? 4分 (ⅱ)若a?0,则x??0,????1?1?4a?'时, F?x??0; ??2???1?1?4a?' x??时, F?x??0, ,?????2??∴函数F?x?在区间?0,?????1?1?4a??1?1?4a?上单调递减, 在区间上单调递增. ,????????22??? ?? 6分 综上所述, 当a?0时, 函数F?x?的单调递增区间为?0,???; 当a?0时, 函数F?x?的单调递减区间为?0,????1?1?4a?, 单调递增区间为??2???1?1?4a?,??????. ?? 82??分

(2) 解: 令h?x??lnx1?lnx'', 则h?x??.令h?x??0, 得x?e. 2xx''当0?x?e时, h?x??0; 当x?e时, h?x??0.

∴函数h?x?在区间?0,e?上单调递增, 在区间?e,???上单调递减. ∴当x?e时, 函数h?x?取得最大值, 其值为h?e??分

22而函数m?x??x?2ex?a??x?e??a?e,

21. ?? 10e

当x?e时, 函数m?x?取得最小值, 其值为m?e??a?e. ?? 12

2分

2∴ 当a?e?g?x?112, 即a?e?时, 方程2?f?x??2e只有一个根. ?? 14eex分

20、解：（1）在直线x?y?1?0中令x?0得y?1；令y?0得x??1

?c?b?1， ?a2?2

x2?y2?1 则椭圆方程为2（2）①M(?2,0),N(0,?1),M、N的中点坐标为(?122，?)，所以k?

222x222?y2?1，（3）法一：将直线PA方程y?kx代入解得x??，记?m，

2221?2k1?2k则

于是C(m,0)，故直线AB方程为y?P(m,mk)，A(?m,?mk)，

0?mkk(x?m)?(x?m)

m?m22k2m代入椭圆方程得(k?2)x?2kmx?km?8?0，由xB?xA?2，因此

k?222222m(3k2?2)mk3B(,2)

k2?2k?2????m(3k2?2)????mk32mk2?2mk?m,2?mk)?(2,2) ?AP?(2m,2mk)，PB?(2k?2k?2k?2k?2????????2mk2?2mk?AP?PB?2?2m?2?2mk?0 ?PA?PB

k?2k?2法二：由题意设P(x0,y0),A(?x0,?y0),B(x1,y1),则C(x0,0)，

?A、C、B三点共线，?yy?yy1?0?10,又因为点P、B在椭圆上，

x1?x02x0x1?x0x02y02x12y12x?x???1,??1，两式相减得：kPB??01

21212(y0?y1)

?kPAkPB?y0x?x(y?y)(x?x)[?01]??1001??1 x02(y0?y1)(x1?x0)(y0?y1)?PA?PB

111?(1?)(1?) 4n2n2n1111?(1?n)(1?n)?1?n?2n?1?1

2222法二：同理由f(n)?1?1111111?f(1)?f(2)?f(n)?(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?n?1)(1?n)(1?n)2244222

111?(1?)1?1??1?(1?n)?222

法三：可以先用数学归纳法证明加强不等式：

111111f(1)f(2)?f(n)?(1?)(1?2)?(1?n)?1?(?2???n)

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