勾股定理及逆应用-最短路径问题-黎雪萍 学生版(2)

例8、如图，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接OQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明你的结论； (2)已知PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，请说明理由． 例9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB. （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. B A C 拓展提高： 6

P 图1 X

1、 在Rt△ABC中，AC＝6，BC－8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆， 则阴影部分面积为 ( ) A． 24 B．24π C．25 2 D．25π 22、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》 中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图(a)是由边长相等 的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理． 图(b)是由图(a)放人长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， 点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上， 则长方形KLMJ的面积为 ( ) A．90 B．100 C．110 D．121 3、如图，P是正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与P'之间的距离为PP'＝_______，∠APB＝_______度． 4、如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1＋S2＋S3＝_______． 4、材料探究题： 方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程； 方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？ 5、（1）如图（2），在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD＝∠ADC． 7

求证：AB＋AC>BC2?CD2； （2）如图（2），在△ABC中，AB上的高为CD， 试判断(AC＋BC)2与AB2＋4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．

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