第21届全国中学生物理竞赛复赛题及参考解答(3)

O1O2?O2O3?L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)

?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1?O1?h?O1O2?0.146h S1?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心同理，O3的位置应在S3之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．

图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、C2

?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交表示L1、L2的边缘，S1点．

?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别S1是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为

??utan??0.439h (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知

h 0.439h Q T N 0.439h (4)

K 圆1 S1’ O1 W2 C1 0.146h Q’ N’ T’ x2 0.854h

W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ 图2

x1 ???0.439?0.146?h?0.585h?r?0.75hO1K???O1S1

(6)

故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．

下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．

现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为

d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h

（7）

由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，

?O1?? x1M?r?S1?O1的值，得 代入r，??和S1

11

代入(7)式，得

x1M?0.457h

(8)

(9) x2m?d?x1M?0.189h

由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)， x2M?r?? 代入r和??的值，得 (10) x2M?0.311h （11） x1m?d?x2M?0.335h

由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．

评分标准：

本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．

五、1．解法Ⅰ：

??的位置应位于OP1的延长线上的某点B1处，q2如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，q1的位置应位于OP2的延长线上的某点B2处．设

A1 A1为S面上的任意一点，根据题意有 kq1A1P1q2A1P2?k?q1A1B1?q2?0 (1)

B2

SO ??a a P1 P2 R图1 B1

k?kA1B2?0 (2)

怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中?OP1A1与?OA1B1的关系．

?的位置B1使下式成立，即 若等效电荷q1

2OP1?OB1＝R

(3) (4)

即

OP1OA1?OA1OB1

则

△OPOA1B1 1A1∽△

有

A1P1A1B1?OP1OA1?a R(5)

12

? 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷q1

???q1Rq1 a(6)

?的位置B1到原球壳中心位置O的距离 由 (3) 式知，等效电荷q1

R2OB1?

a(7)

同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷

???q2Rq2 a(8)

?的位置B2到原球壳中心O位置的距离 等效电荷q2 解法Ⅱ：

R2OB2?

a(9)

?两者在A1点产生的电势?，OB1?d．根据题意，q1和q1在图1中，设A1P1?r1，A1B1?r1和为零．有

kq1q??k1?0 r1r1?（1＇）

式中

由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得

2?2(R2?a2?2Racos?) q1(R2?d2?2Rdcos?)?q1 r1?(R2?a2?2Racos?)12

（2＇） （3＇）

r1??(R2?d2?2Rdcos?)12

（4＇）

（4＇）式是以cos?为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意?均成立，等号两边的相应系数

应相等，即

由（5＇）、（6＇）式得

13

2?2(R2?a2) q1(R2?d2)?q1（5＇）

2?2a （6＇） q1d?q1

解得

ad2?(a2?R2)d?aR2?0 (a2?R2)?(a2?R2)d?

2a（7＇） （8＇）

由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 由（6＇）、（9＇）式有

R2d?

a（9＇）

R22??2q1 q1a2（10＇）

考虑到（1＇）式，有

同理可求得

???q1Rq1 a（11＇）

R2OB2?

a（12＇）

???q2Rq2 a（13＇）

?、q2、q2?共同产生，即 2．A点的位置如图2所示．A的电势由q1、q1

?1R11R1??? UA?kq????PAaBAPAaBA?122??1

(10)

因

22P1A?r?2racos??a

?R2??R2????B1A?r?2r??a?cos???a? ????22A B2 P2A?r?2racos??a

S

14

22O ??P2 a a P1 R图2

B1 ?R2??R2?2???B2A?r?2r??a?cos???a? ????代入 (10) 式得 UA?kq??2?212?r?2racos??a?1?Rar?2raRcos??R?R2224

r?2racos??a22??

2224?ar?2raRcos??R?(11)

评分标准：

本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．

第2问2分，即(11)式2分．

六、令I表示题述极短时间?t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；I?表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；vC表示?t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，vB表示?t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，vB?表示?t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．由动量定理， 对C有

对B有

对AB有

A ???? I D C I?sin??mvC I?I?cos??mv

E (1

(2

I?sin??mvB I?cos??2m?v?vB??

(3

(4

因为B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有

由以上五式，可解得

vCsin??vB?cos??vBsin?

(5

3?sin2?I?mv 21?3sin?(6

评分标准：

本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．

七、解法Ⅰ：

15

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