六、(20分)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为??? ，??< ?/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．
6
BA ???? C D E
七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻，
O d b x y c y a v0 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速v0．设导轨足够长，x0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距
x0，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系．
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA p2= p1 经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
（1）
V2??(H??H)A
（2）
?? p27
p2V2 V2?（3）
渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
V1??V1??HA
（4） （5）
??2?gΔHp1?p2式中??为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程pV?nRT可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
?n??V1?p1V1p1 ?RTRT（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
N??nNA
（7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了?p
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
?p?ΔnRT V0（8）
??p0??p p0（9）
测试过程的平均压强差
?p?1??p1?)? ?(p0?p1)?(p02（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
k?Nd?ptS?2.4?1011Pa?1m?1s?1
（11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC． 因卫星椭圆轨道长轴的长度
AB?r近＋r远
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
8
mv近r近＝mv远r远 (2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
A O B
?1 12mv2－GMmr?1mv2－GMm近远 (3) 近2r远已知
r近＝2R， v3GM近＝4R
C 得 r远?6R
所以
AB?2R?6R?8R 在△ABC中用正弦定理
sin?1?sin?π??1??2?BCAB 所以 BC?sin??1sin??AB
1?2?地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理
OC2?r2远?BC2?2r远?BCcos?2
由式(4)、(5)、(7)得
OC?2R9?16sin2?1sin2???24sin?1cos?21??2?sin???
1??2评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
?60?2.0?10?s
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的?子平均寿命为?，
???0 1??vc?2代入数据得 ? = 1.4×10－5s
相对地面，若?子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的?子数为
9
(4) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(1)
(2)
根据题意有
对上式等号两边取e为底的对数得
代入数据得
N?t??N?0?e?t? N?t??e?t??5% N?0?(3)
(4)
t???ln5 100(5)
t?4.19?10?5s
(6)
根据题意，可以把?子的运动看作匀速直线运动，有
h?vt
(7)
代入数据得
h?1.24?104m
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光
S1 源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中MM?表h S2 ?、S2?、S3?为三个光束中心光线示组合透镜的平面，S1h 与该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透镜 成像公式 可解得
u?[L?L2?4fL]
M (8)
??????u O1 O3 ? S1O2(S2’) L M’ 图1 P z S3’ 111?? (1) uL?uf12
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
u?(6?32)h≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有
10
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