线性代数练习题及答案(2)

112?n11?[x?n(n?1)]12?11x2?n2x?n ????23?x12???n00

0x?101?[x?n(n?1)]01x?22???011???x?n1=[x?n(n?1)](x?1)(x?2)?(x?n)。

2? x1?x2? 5x3? x4?0?13．解齐次线性方程组? x1? x2?2x3?3x4?0

?3x? x?8x? x?0234?1解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换

3?10?21?15?1???7??A??11?23???01??2?3?181????000????1??2? ??0???得出原方程组的同解方程组

3?x ? x3? x4?0??12 ?7? x?x?2x?0234??2设x3?c1,x4?c2,c1,c2为任意常数.得到方程组的全部解为

37(x1,x2,x3,x4)T?c1(?,,1,0)T?c2(?1,?2,0,1)T,c1,c2为任意常数。

22?010??1?1?????14．解矩阵方程AX?B?X，其中A???111?,B??20?。

??10?1??5?3?????解：由AX?B?X得(I?A)X?B。

因为I?A?0所以X?(I?A)?1B。

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?1?10??02/31/3?????(I?A)?1??10?1????12/31/3?

?102??0?1/31/3??????02/31/3??1?1??3?1????????1因而X?(I?A)B???12/31/3??20?=?20?

?0?1/31/3??5?3??1?1????????x1?x2?x3?a?15．a取何值时，线性方程组?ax1?x2?x3?1有解, 并求其解。

?x?x?ax?13?12?1?111a??111a?????解：(Ab)??a111???01?a1?a1?a2?

?11a1??00a?11?a?????当a?1时，r(A)?r(A|b)?3,有唯一解：x1??1,x2?a?2,x3??1;

当a?1时，

?1111???(A|b)??0000?即原方程组与下面方程

?0000???x1?1?x2?x3同解,其中x2,x3是自由变量.

(x2,x3)T取(0,0)T得到一个特解为(1,0,0)T.

原方程组的导出组与方程x1??x2?x3同解.

(x2,x3)T分别取(1,0)T,(0,1)T得到一个基础解系为:

(?1,1,0)T,(?1,0,1)T

因此,当a?1时，方程组的通解为:

(1,0,0)T?c1(?1,1,0)T?c2(?1,0,1)T，c1,c2为任意常数.

四．证明题（每题5分，共10分）

16. 设向量组?1,?2,?3线性无关，证明以下向量组线性无关： ?1??1?? 2，?2??2??3，?3??1??3。 证明: 设k1?1?k2?2?k3?3?0，所以

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(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，

101?k1?k3?0?因为?1,?2,?3线性无关，所以?k1?k2?0，系数行列式110?0，所以方程只有零

?k?k?0011?23解，即k1?k2?k3?0，故?1,?2,?3无关。

17．设n阶矩阵A满足A2?2A?4I?O.证明：A可逆并求A?1。 证明:由A2?2A?4I?O可得 A2?2A?4I，进一步

A(A?2I)/4?I，

因此, A可逆且A?1?(A?2I)/4。

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