线性代数练习题及答案

线性代数期中练习 一、单项选择题。 1．

k?12?0的充分必要条件是( )。

2k?1(A) k??1 (B) k?3 (C) k??1 且k?3 (D) k??1或k?3 2．若AB＝AC，当（ ）时，有B＝C。

(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵 (C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵

a113．若三阶行列式a21a12a22a32a13?2a11?2a12?2a13。 ?2a23?（ ）

a31a23?M，则?2a21?2a22a33?2a31?2a32?2a33(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M

?ax1?x2?x3?0?4．齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0有非零解，则a应满足（ ）。

?x?x?x?0?123(A) a?0； (B) a?0； (C) a?1； (D) a?1．

5．设?1,?2是Ax?b的两个不同的解，?1,?2是Ax?0的基础解系，则Ax?b 的通解是（ ）。 (A) c1?1?c2(?1??2)?11(?1??2) (B) c1?1?c2(?1??2)?(?1??2) 2211(C) c1?1?c2(?1??2)?(?1??2) (D) c1?1?c2(?1??2)?(?1??2)

22二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 。

。

7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = | ( AB )-1 |= 。

?BO??1?18. 在分块矩阵A=??中，已知B、C存在，而O是零矩阵，则

?OC?A?1?

。

1 / 8

129．设D=?251374142315,则A41?A42?A43?A44? 。 37?123???10．设矩阵A=?23?5?，则A的秩R(A)= 。

?471???三．计算题（要求写清计算过程）

?111??123?????11. 设A??11?1?，B???1?24?，求3AB?2A。

?051??1?11?????

x12?n1x2?n12．计算行列式 D?12x?n。

?????123?x

? x1?x2? 5x3? x4?0?13．解齐次线性方程组? x1? x2?2x3?3x4?0。

?3x? x?8x? x?0234?1

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?010??1?1?????14．解矩阵方程AX?B?X，其中A???111?,B??20?。

??10?1??5?3?????

?x1?x2?x3?a?15．a取何值时，线性方程组?ax1?x2?x3?1有解, 并求其解。

?x?x?ax?13?12

四．证明题（每题5分，共10分）

16. 设向量组?1,?2,?3线性无关，证明以下向量组线性无关： ?1??1?? 2，?2??2??3，?3??1??3。

17．设n阶矩阵A满足A2?2A?4I?O.证明：A可逆并求A?1。

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线性代数参考答案

一、单项选择题。 1．

k?12?0的充分必要条件是( C )。

2k?1(A) k??1 (B) k?3 (C) k??1 且k?3 (D) k??1或k?3 2．若AB＝AC，当（ B ）时，有B＝C。

(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵 (C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵

a113．若三阶行列式a21a12a22a32a13?2a11?2a12?2a13。 ?2a23?（ D ）

a31a23?M，则?2a21?2a22a33?2a31?2a32?2a33(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M

?ax1?x2?x3?0?4．齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0有非零解，则a应满足（ D ）。

?x?x?x?0?123(A) a?0； (B) a?0； (C) a?1； (D) a?1．

5．设?1,?2是Ax?b的两个不同的解，?1,?2是Ax?0的基础解系，则Ax?b的通解是（ A ）。

11c??c(???)?(???)c??c(???)?(?1??2) (A) 1121212 (B) 1121222(C) c1?1?c2(?1??2)?二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 28 。

。

7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = -3750 | ( AB )-1 |= -1/6

。(答对其中一空给2分)

11(?1??2) (D) c1?1?c2(?1??2)?(?1??2) 22?BO??1?18. 在分块矩阵A=??中，已知B、C存在，而O是零矩阵，则

?OC??B?1O?A? ? 。 ?1?OC???1 4 / 8

129．设D=?251374142315,则A41?A42?A43?A44? 0 。 37?123???10．设矩阵A=?23?5?，则A的秩R(A)= 2 。

?471???三．计算题（要求写清计算过程）

?111??123?????11. 设A??11?1?，B???1?24?，求3AB?2A。

?051??1?11??????111??123??01524???????解：3AB?3?11?1???1?24???0?1518?

?1?11??051??6270????????01524??222?????3AB?2A??0?1518???22?2?

?6270??2?22???????21322???=??2?1720?。 ?429?2???x12?n1x2?n12．计算行列式 D?12x?n。

?????123?xx121x2解：D?12x???1231x?n(n?1)2?n1x?n(n?1)?n2?n?1x?n(n?1)2????x1x?n(n?1)212?nx2?n2x?n????

23?x 5 / 8

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