2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学(文科)(2)

得 ∣????∣=所以

∣??∣5

∣3×4?4×3+??∣ 32+42=

∣??∣5

，

=3，

解得 ??=±15．

17. （1） 连接 ???? 交 ???? 于 ??，连接 ????． ??，?? 分别为 ???? 和 ???? 的中点， 则 ????∥????．

又 ????? 平面 ??????，?????平面??????， 所以 ????∥ 平面 ??????．

（2） 因为矩形 ???????? 所在的平面与正方形 ???????? 所在的平面相互垂直， ????? 平面 ????????，????⊥????， 所以 ????⊥ 平面 ????????． 又 ????? 平面 ????????， 所以 ????⊥????．

因为 ????=????，?? 是 ???? 的中点， 所以 ????⊥????． 所以 ????⊥ 平面 ??????． 所以平面 ??????⊥ 平面 ??????．

（3） 多面体 ?????????? 为四棱锥 ??????????? 截去三棱锥 ????????? 所得， 所以 ????????????=?????????????????????????=4?????????????=4×3×1×2×2=1． 18. （1） 因为抛物线 ??2=2???? ??>0 的准线方程为 ??=?2， 所以 ?2=?2，解得 ??=1， 所以 抛物线的方程为 ??2=2??． （2） 设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 . 将 ??=?? ???2 代入 ??2=2??，

消去 ?? 整理得 ??2??2?2 2??2+1 ??+4??2=0． 所以 ??1??2=4．

2222由 ??1=2??1，??2=2??2，两式相乘，得 ??1??2=4??1??2，

??

1

??

3

3

1

注意 到 ??1，??2，异号，所以 ??1??2=?4． 所以直线 ???? 与直线 ???? 的斜率之积为 即 ????⊥???? .

19. （1） 取 ???? 的中点 ??，连接 ????，???? . ??，?? 分别为 ????，???? 中点， 所以 ????∥???? . 在图2中，

??，?? 分别为 ??1??，???? 中点， 所以 ????∥??1??，

所以 平面 ??????∥ 平面 ??1????，

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??1??1

?

??2??2

=?1，

所以 ????∥ 平面 ??1???? .

（2） 直线 ??1?? 与直线 ???? 不可能垂直， 因为平面 ??1????⊥平面??????， ?????平面??????，????⊥????， 所以 ????⊥ 平面 ??1????， 所以 ??1??⊥???? . 假设有 ??1??⊥????，

注意到 ????与???? 是平面 ?????? 内的两条相交直线， 则有 ??1??⊥ 平面 ?????????① . 又因为平面 ??1????⊥平面??????， ??1???平面??1????，????⊥????， 所以 ??1??⊥平面?????????②．

而 ①，② 同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾． 所以直线 ??1?? 与直线 ???? 不可能垂直.

20. （1） 设椭圆 ?? 的半焦距为 ??．依题意，得 ??=1， 且 ??2=??2=

??2

??2?1??2=4，解得 ??2=4．

??2

3

所以，椭圆 ?? 的方程是 4+??2=1．

（2） 证法一：易知，直线 ???? 的斜率存在，设其方程为 ??=????+??． 将直线 ???? 的方程代入 ??2+4??2=4，

消去 ??，整理得 1+4??2 ??2+8??????+4??2?4=0． 设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ， 则 ??1+??2=?

??1?1??1

8????1+4??

2，??1???2=

4??2?41+4??2

,???①

因为 ????⊥????，且直线 ????，???? 的斜率均存在， 所以

?

??2?1??2

=?1，整理得 ??1??2+??1??2? ??1+??2 +1=0,???②

因为 ??1=????1+??，??2=????2+??，

所以 ??1+??2=?? ??1+??2 +2??，??1??2=??2??1??2+???? ??1+??2 +??2,???③ 将 ③ 代入 ②，整理得 1+??2 ??1??2+?? ???1 ??1+??2 + ???1 2=0,???④ 将 ① 代入 ④，整理得 5??2?2???3=0， 解得 ??=?，或 ??=1（舍去），

53

3

所以，直线 ???? 恒过定点 0,?5 ．

证法二：直线 ????，???? 的斜率均存在，设直线 ???? 的方程为 ??=????+1． 将直线 ???? 的方程代入 ??2+4??2=4，消去 ??，得 1+4??2 ??2+8????=0． 解得 ??=0，或 ??=1+4??2．

设 ?? ??1,??1 ，所以 ??1=1+4??2，??1=????1+1=1+4??2， 所以 ?? 1+4??2,1+4??2 .

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?8??

1?4??2

?8??

1?4??2

?8??

以 ??? 替换点 ?? 坐标中的 ??，可得 ?? 4+??2,??2+4 ． 从而，直线 ???? 的方程是

1?4??21+4??21?4??2??2?4

?1+4??2??2+418??

??2?4

???

=

8??1+4??2?8??8???1+4??24+??2??+

．

依题意，若直线 ???? 过定点，则定点必定在 ?? 轴上． 在上述方程中，令 ??=0，解得 ??=?5． 所以，直线 ???? 恒过定点 0,?5 ．

3

3

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