2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学(文科)

2015-2016学年北京市西城区高二第一学期期末数学（文科）

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 命题“若 ??>1，则 ??>0”的逆命题是 ??

A. 若 ??>0，则 ??≤1 C. 若 ??≤0，则 ??>1 2. 复数 ??=1+2i 的虚部是 ??

A. ?2i

B. 2i

C. ?2

D. 2

3. 在空间中，给出下列四个命题：

① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 其中真命题的序号是 ??

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

4. 抛物线 ??2=2?? 的焦点到其准线的距离是 ??

A. 1

????

B. 若 ??>0，则 ??>1 D. 若 ??≤0，则 ??≤1

B. 2

????

C. 3 D. 4

5. 两条直线 ??1??+??1??+??1=0，??2??+??2??+??2=0 互相垂直的充分必要条件是 ??

A. ??1??2=?1

12

B. ??1??2=1

12

C. ??1??2+??1??2=0 D. ??1??2???1??2=0

6. 如图，在长方体 ???????????1??1??1??1 中，????1=2????，????=????，则下列结论中正确的是 ??

A. ????1∥??1?? C. ????1⊥???? 7. 已知椭圆

??2??

??2??

2+

B. ??1??1∥平面????1?? D. ????1⊥平面????1??

??2??2=1 ??>??>0 的两个焦点分别为 ??1，??2，∣??1??2∣=2?? ??>0 ．若点 ?? 在椭圆

??2??

??2??

??2??

上，且 ∠??1????2=90°，则点 ?? 到 ?? 轴的距离为 ??

A. B.

C. D. 8. 在长方体 ???????????1??1??1??1 中，????=6，????=4，????1=2，??，?? 分别为棱 ????1，??1??1 的中点. 则从 ?? 点出发，沿长方体表面到达点 ?? 的最短路径的长度为 ??

C. 34 D. 5 2 A. 3 2 B. 4 2

二、填空题（共6小题；共30分）

9. 命题“???∈R,??2?1>0”的否定是______ .

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10. 已知球 ?? 的大圆面积为 ??1，表面积为 ??2，则 ??2:??2= ______．

，???? ，则 1= ______． 11. 如图，在复平面内复数 ??1，??2 对应的向量分别是 ??????

2

??

12. 已知双曲线 ??2?

??2??2

=1 ??>0 的一个焦点是 2,0 ，则 ??= ______；双曲线的渐近线方程为

______ .

13. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是

______ .

14. 已知曲线 ?? 的方程是 ??4+??2=1，关于 ?? 曲线的几何性质，给出下列三个结论：

① 曲线 ?? 关于原点对称； ② 曲线 ?? 关于直线 ??=?? 对称； ③ 曲线 ?? 所围成的区域的面积大于 π . 其中，所有正确结论的序号是______ .

三、解答题（共6小题；共78分）

15. 如图，四棱锥 ??????????? 中，????⊥底面????????，底面 ???????? 是正方形，且????=????=2 .

（1）求 ???? 的长；

（2）求四棱锥 ??????????? 的表面积.

16. 如图，已知圆心为 ?? 4,3 的圆经过原点 ??．

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（1）求圆 ?? 的方程；

（2）设直线 3???4??+??=0 与圆 ?? 交于 ??，?? 两点．若 ∣????∣=8，求 ?? 的值．

17. 如图，矩形 ???????? 所在的平面与正方形 ???????? 所在的平面相互垂直，?? 是 ???? 的中点．

（1）求证：????∥ 平面 ??????； （2）求证：平面 ??????⊥ 平面 ??????；

（3）若 ????=1，????=2，求多面体 ?????????? 的体积．

18. 已知抛物线 ??2=2???? ??>0 的准线方程是 ??=? . 2

1

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线 ??=?? ???2 ??≠0 与抛物线相交于 ??，?? 两点，?? 为坐标原点，证明 ????⊥????． 19. 如图 1，在 △?????? 中，∠??????=90°,?? 为 ???? 中点，????⊥???? 于 ??，延长 ???? 交 ???? 于 ??．将

△?????? 沿 ???? 折起，得到三棱锥 ??1???????，如图 2 所示．

（1）若 ?? 是 ??1?? 的中点，求证：????∥平面??1????；

（2）若平面 ??1????⊥ 平面 ??????，试判断直线 ??1?? 与直线 ???? 能否垂直?并说明理由.

??2??

??2??2

20. 如图，已知椭圆 ??:

2+

=1 ??>??>0 的离心率是 ，一个顶点是 ?? 0,1 ．

32

（1）求椭圆 ?? 的方程；

（2）设 ??，?? 是椭圆 ?? 上异于点 ?? 的任意两点，且 ????⊥????．试问：直线 ???? 是否恒过一定点?

若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

第3页（共8页）

第4页（共8页）

答案

第一部分 1. B 6. C

2. D 7. B

3. C 8. B

4. A

5. C

第二部分

9. ???∈R,??2?1≤0 10. 1:4 11. ?1+2i 12. 3；??=± 3?? 13. 4 3 14. ①③ 第三部分

15. （1） 连接 ???? . ????⊥ 底面 ????????， 所以 ????⊥???? .

因为 底面 ???????? 是正方形，????=2， 所以 ????=2 2 . 在直角三角形 ?????? 中，????= ????2+????2=2 3． （2） 因为 ????⊥ 底面 ????????，底面 ???????? 是正方形， 从而 △??????，△?????? 为全等的直角三角形， 所以 ????=????=2 2 . 由 1 知 ????=2 3，

所以 ????2+????2=????2=????2+????2， 从而 △??????，△?????? 为全等的直角三角形.

所以，四棱锥 ??????????? 的表面积

??=2??????????+2??????????+??正方形????????

11

=2×?????????+2×?????????+????2

22=8+4 2.16. （1） 圆 ?? 的半径 ∣????∣= 32+42=5， 从而圆 ?? 的方程为 ???4 2+ ???3 2=25． （2） 作 ????⊥???? 于 ??，则 ???? 平分线段 ????， 所以 ∣????∣=2∣????∣=4 ， 在直角三角形 ?????? 中， ∣????∣= ∣????∣2?∣????∣2=3． 由点到直线的距离公式，

1

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