北京初三数学第一学期几何大题期末专练(2)

答案

1.27. 解：方法1：

∵线段AB的垂直平分线BC交于点D， AD=BD, …………………1分 ∴∠1=∠B

∵∠B=α∴∠2=∠1+∠B=2α………3分

1AC1在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα= ∴?

2BC2设AC?k,DC?x,则AD?BD?2k?x,……………………………4分

在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，k2?x2?(2k?x)2,…………………5分

3k,………………………6分 4ACk4∴tan2????.………………………7分

3kDC34解得：x?方法2：过A作AD⊥A＇B于点D. …………………………………………1分 ∵△ABC、△A＇BC关于BC对称， ∴∠1=∠ABC =α

∴∠A＇BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分 1AC1在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=∴?

2BC2设AC?A'C?k,则BC?2k,AB?A'B?5k,…………………………3分 ∵S?ABA'??AA'?BC??A'B?AD

∴2k?2k?5k?AD………………………………………………………4分

1212∴AD?45k……………………………………………………………5分 5在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB?5k,AD?45k 5∴BD?35k………………………………………………………………6分 545kAD4?5?.………………………………………………7分 ∴tan2??BD35k35方法3：延长C＇A交BC的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△ABC、△ABC’关于直线AB对称， ∴∠1=∠ABC =α，BC＇= BC

∴∠C＇BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分 1∵tanα=∴设AC = k,则BC = 2k，

2BC＇= 2k……………………………………………………………………3分 设CD = x

∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,

∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分 ∴

ACDCkx?? ∴ ,,2kC'DBCDC∴C＇D = 2x∴AD =2x-k 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

由勾股定理得，k2?x2?(2x?k)2………………5分

4x?k………………………6分

342?kCD3?4……………7分 ?∴tan2??2k3BC,,2.25. (1) 锐角△ABC的最小覆盖圆是它的外接圆（不必写出结论，作图正确即可）

画图

略. …………………2分 (2)

直角△ABC

最小覆盖圆的圆心是斜边中

点； …………………3分

(3)①锐角△ABC的最小覆盖圆是它的外接圆，

②直角△ABC的最小覆盖圆是它的外接圆（或以最长边为直径的圆）， ③钝角△ABC

的最小覆盖圆是以最长边为直径的

圆. …………………5分

注：第(3)问不必严格分三种情况叙述，不遗漏即可.

3.28．(1)相等；…………1分 (2)想法一：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC, ∠B=60°.…………2分 ∵AH=CE,∴BH=BE. ∴∠BHE=60°.

∴AC//HE.∴∠1=∠2. ……………………………3分 在△AOE和△COM中,∠ACM=∠AEM=60°,∠AOE=MOE, ∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.……………………………5分 ∵∠BHE=60°,∴∠AHE=120°. ∵∠ECM=120°.∴∠AHE=∠ECM.……………………………6分 ∵AH=CE,∴△AHE≌△ECM（AAS）.

∴AE=EM. ……………………………7分

（或根据一线三等角证△ABE∽△ECO,得∠BAE=∠CEM, 再证∠AHE=∠ECM,得△AHE≌△ECM（ASA）） 想法二：

∵在△AOE和△COM中, ∠ACM=∠AEM=60°, ∠AOE=∠COM,

∴∠EAC=∠EMC.……………………………3分 又∵对称△ACE≌△FCE,

∴∠EAC=∠EFC, AE=EF.…………5分 ∴∠EMC=∠EFC.

∴EF=EM.∴AE=EM.…………7分 想法三：

∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°,

∴可证△ABE≌△CBF（SAS）.…………………2分 ∴∠1=∠2 AE=CF.…………………3分 ∵∠AEM=∠CBA=60°,

∴∠1=∠CEM.∴∠2=∠CEM.∴EM//CF.…………4分 ∵∠CBF=60°,BE=BF,∴∠BEF=60°,

0

∴∠MCE=∠CEF=120.∴CM//EF.…………………5分 ∴四边形MCFE为平行四边形.

∴CF=EM.∴AE=EM.…………………7分 4.28．（本小题满分7分）

（1）补充图形正确……………………………………………1分 PM3……………………………………………2分 ?PN3AA1H2BE(2)O3MGCAA1BEOMGOCFCMBFE2Gy43C21B–1DA1234O–1x（2）作出示意图……………………………………………3分

BMPCN

思路：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F………………………4分 由PF⊥BC和∠ABC＝90o可以得到AB∥PF，∠PFC＝90o进而得到

∠A＝∠FPC；由∠PFC＝∠AEP= 90o, AP=PC可以得到 △AEP ≌△PFC，进而推出AE=PF；

由点P处的两个直角可以得到∠EPM＝∠FPN，

PFPN

进而可以得到△MEP ∽△NPF，由此可以得到PE ＝PM 等量代换可以得到

PMPE；在Rt△AEP中 ?PNAEBMAEPFCPEPM,可以得到tan?A??tan23?………………7分 AEPN5.28．（1）依据题意，画图正确，如图1． ····················································································· 1

（2）证明：如图1，由题意，得AD=AE，∠DAE=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD=90°． ∴∠CAD=∠BAE． ··········································································································· 2 ∵AB=AC，

∴△CAD≌△BAE． ·········································································································· 3

∴CD=BE． ·············································································································· 4

（3）证明：①如图2，

∴∠ACD=∠ABE． ································································································· 5 ∵∠AFC=∠GFB． ∴△ACF∽△GBF． ··········································································································· 6

②当∠EDB=90°时，如图3，AB:BD?5:2； ································· 7 当∠BED=90°时，如图4，AB:BD?5:2． ······································ 8

BEAEAGD图1

FDCB图2

CEAG

(G)FD图3

EFADCBB图4

C6.28．（本小题满分6分）

（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°，

在Rt△AHB中，∵AB=52，∠B=45°， ∴BH=ABcosB=5， AH=ABsinB=5，

，

在Rt△AHC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=10，CH=ACcosC=5

∴BC=BH+CH=5+53． ………………………………3分

（2）①证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，

∴△ABD≌△APE，

∴BD=PE，∠B=∠APE=45°， ∴∠EPB=∠EPC=90°， ∵∠C=30°， ∴CE=2PE， ∴CE=2BD． ②

…………………………5分

3?1…………………………6分 27.28.解：（1）

……………………..(1分)

CF3；……………………..(2分) ?AE3AE与EF的数量关系为AE=EF……………………..(3分)

证明：（2）连接AF，EF与AC交于点G.

?在等边△ABC中，CD是它的外角平分线.

ADFGBEC?∠ACF=60°=∠AEF，

?∠AGE=∠FGC，

?△AGE∽△FGC……………………..(5分)

GEGA? ?GCGF

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