平面向量重难点解析(4)

? A．充分但不必要条件 ? C．充要条件

B．必要但不充分条件? D．既不充分也不必要条件

12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长

二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且

A．1公里

B．sin10°公里

C．cos10°公里

（ ） D．cos20°公里

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

sinC2?(6?1)，A= . sinB514．在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B= 时，BC的长取得最大值. 15．向量a、b满足（a－b）2（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等

于 .

16．已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b－c)＝ . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）

17．设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=－3e1+4e2,求a2b.?

18．设三角形各角的余切成等差数列，求证：相应各边的平方也成等差数列．

２

19．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，

求AD及D点坐标.?

20．如图，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，

问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？

21．已知A、B、C成等差数列，求tan

ACAC?tan?3tan?tan的值. 2222

22．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的

夹角θ取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值.

参考答案

一、选择题

1．C2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．A 二、填空题

13．120° 14．40° 15．?

1 16．11 2三、解答题

17．解法一：∵e12e2=|e1||e2|cos90°=0?

∴a2b=(3e1+2e2)2(－3e1+4e2)?

2??9e12?8e2?6e1?e2

=-9|e1|+8|e2|=-9+8=-1?

解法二：∵e1、e2是单位向量，且e1⊥e2，于是可得：a=(3,2),b=(－3,4) ∴a2b=33(－3)+234=-1?

22

18．解析：∵2cotB?cotA?cotC,(?2cosB?sin2B/sinA?sinC,

b2)222

故2(a?c?b)?2R, ∴a+b=2b ，故得证．

ac2ac?2R2R22219． 解析：设D点坐标为(x,y)，D分BC所成的比为λ，则

x?3??(?3)2??(?1),y?1??1??3?3?2??AD?(?2,?1),BC?(?6,?3)1??1??

?AD?BC,?AD?BC?0??6(3?3?2???2)?3(?1)?01??1??1解得:??2∴x=1,y=1故D点坐标为（1，1），AD=（－1，2）?

20．解析：设∠AOB=θ,由余弦定理知AB=OA+OB－2OA2OB2cosθ=5－4cosθ

2

2

2

3AB253∴S△ABC=??3cosθ

44S△AOB=

OA?OB?sin??sin?

2∴S四边形OACB=

5353??3cos??sin???2sin(??) 443当θ=

5?时，S四边形OACB最大, 6最大值为

53+2 423A?C?3， 221．解析：∵A+B+C=π， A+C=2B ， ∴A+C=?， tantanACAC?tan?3(1?tan?tan)， 2222ACAC?3． 故有tan?tan?3tan?tan2222解法一:?AB?AC,?AB?AC?0.22．?AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC,

?BP?CQ?(AP?AB)?(AQ?AC)

?AP?AQ?AP?AC?AB?AQ?AB?AC??a3?AP?AC?AB?AP??a2?AP?(AB?AC)1??a2?PQ?BC2??a2?a2cos?.故当cos??1,即??0(PQ与BC方向相同)时,BP?CQ最大.其最大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设|AB|?c,|AC|?b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|?2a,|BC|?a.设点P的坐标为(x,y),则Q(?x,?y).?BP?(x?c,y),CQ?(?x,?y?b),BC?(?c,b),PQ?(?2x,?2y).?BP?CQ?(x?c)(?x)?y(?y?b)??(x2?y2)?cx?by.

?cos??PQ?BC|PQ|?|BC|?cx?by.2a?cx?by?a2cos?.

?BP?CQ??a2?a2cos?.故当cos??1,即??0(PQ与BC方向相同)时,BC?CQ最大,其最大值为0.

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