平面向量重难点解析(3)

直，则?是（ ）

A. －1 B. 1

C. －2

D. 2

??????解：由于?a?b????4,?3??2?,a??1,?3?,?a?b?a

∴???4??3??3??2??0，即10??10?0????1，选Ａ

点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。

例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若AC?a, BD?b,则AF?（ ）

1?1? A．a?b

421?1?1?2?C. a?b D. a?b

2433111解:AO?a,AD?AO?OD?a?b,

22211?111?11AE?(AO?AD)??a?b?a??a?b,

22?222?242?1?B. a?b

33由A、E、F三点共线,知AF??AE,??1

而满足此条件的选择支只有B，故选B.

点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。

??????0例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为120，则5 |a|?1,|b|?3，|a?|b? ．

??2??解：5a?b?5a?b??2?2???2?1??25a?10a?b?b=25?12?10?1?3?????32?49，

?2???5a?b?7

点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。 考点三：定比分点

【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且

????????????????????????????????????????DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则AD?BE?CF与BC( )

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

????????????AC?2AB1????2????解：由定比分点的向量式得:AD??AC?AB,同理，有：

1?233?????????????1???AD?BE?CF??BC,所以选A.

3????1????2????????1????2????BE?BC?BA,CF?CA?CB,以上三式相加得

3333点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点. 考点四：向量与三角函数的综合问题

【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

??例9、（2008深圳福田等）已知向量a?(3sinx,cosx),b?(cosx,cosx ,)函数??f(x)?2a?b?1

(1)求f(x)的最小正周期; (2)当x?[?, ]时, 若f(x)?1,求x的值． 62?解：(1) f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?所以，T＝?.

(2) 由f(x)?1,得sin?2x?∵x?[?6).

????1， ??6?2??62,]，∴2x????7??5??[,] ∴2x?? ∴ x?

362666点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例10、（2007山东文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， tanC?37．（1）求cosC；

????????5（2）若CB?CA?，且a?b?9，求c．

2sinC??37 解：（1）?tanC?37，cosC1． 81 ?tanC?0，?C是锐角． ?cosC?．

8????????55（2）由CB?CA?， ?abcosC?， ?ab?20．

22

22又?sinC?cosC?1 解得cosC??

又?a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。

?xπ??π??2?平移，则平移后所例11、（2007湖北）将y?2cos???的图象按向量a???，?36??4?得图象的解析式为（ ） ?xπ?Ａ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2

?312??xπ?Ｂ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2

?312?'''解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点Px,y，P?x,y?，

???'?π?'?2??P'P?x?x',y?y'?x?x?,y?y?2，代入到已知解析式中可则a???，4?4???????得选Ａ

点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移下平移2个单位，误选Ｃ

考点五：平面向量与函数问题的交汇

【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

?个单位，再向4??xx33asin)，b例12、（2008广东六校联考）已知向量＝(cosx，sinx)，＝(?cos，2222?且x∈[0，]．

2??（1）求a?b

（2）设函数f(x)?a?b+a?b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

解：（I）由已知条件： 0?x??????2， 得：

??3xx3xx3xx3xxa?b?(cos?cos,sin?sin)?(cos?cos)2?(sin?sin)2

22222222 ?2?2cos2x?2sinx

3xx3xxcos?sinsin?2sinx?cos2x 22221232 ??2sinx?2sinx?1??2(sinx?)?

22 （2）f(x)?2sinx?cos因为：0?x??2，所以：0?sinx?1

所以，只有当： x?

13时， fmax(x)? 22 x?0 ，或x?1时，fmin(x)?1

点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。 考点六：平面向量在平面几何中的应用

【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，

使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到y 解决．

【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。 例13、如图在Rt?ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问PQ与BC的夹角?取何值时， BP?CQ的C O B x C Q a A 值最大？并求出这个最大值。 a 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则AA B （0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的P 坐标为（x，y），则Q（-x，-y），例13图 ?BP?（x?c，y），CQ?（?x，?y?b），BC?（?c，b），PQ?（?2x，?2y）.

?BP?CQ?(x?c)(?x)?y(?y?b)??(x2?y2)?cx?by.?cos??2

2

2

BC?PQ|BC|?|PQ|?cx?by.a2∴cx-by=acos?.∴BP?CQ=- a+ acos?.故当cos?=1，即?=0（PQ与BC方向相同）时，BP?CQ的值最大，其最大值为0.

点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。

平面向量 全章检测

说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．在△ABC中，一定成立的是

A．asinA=bsinB

2

2

（ ）

D．acosB=bcosA

（ ）

D．等腰三角形

（ ）

B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA 2

2．△ABC中，sinA=sinB+sinC，则△ABC为 A．直角三角形

B．等腰直角三角形 C．等边三角形

3．在△ABC中，较短的两边为a?22,b?23,且A=45°,则角C的大小是

A．15°

B．75

C．120°

D．60°

4．在△ABC中，已知|AB|?4,|AC|?1,S?ABC?

A．－2

B．2

3,则AB2AC等于

D．±4

（ ）

C．±2

5．设A是△ABC中的最小角，且cosA?

A．a≥3

B．a＞－1

a?1，则实数a的取值范围是 a?1C．－1＜a≤3

D．a＞0

（ ）

6．在△ABC中,三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB2BC等于

A．19

B．－14

C．－18

D．－19

（ ）

7．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

（ ）

D．既不充分也不必要

8．若△ABC的3条边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是

A．1∶1

B．1∶2

C．1∶4

D．3∶4

（ ） （ ）

9．已知向量a?(1,1)，b?(2,?3)，若ka?2b与a垂直，则实数k=

A．1

B．－1

C．0

D．2

10．已知向量a=(cos?,sin?)，向量b=(3,?1)，则|2a－b|的最大值是

A．4

B．－4

C．2

D．－2

（ ）

11．已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 （ ）

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