近世代数一(4)

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4.在4次对称群S4中，阶为2的元有( ) A.6个

B.7个

C.8个

D.9个

5.除环的理想有( ) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.剩余类加群Z4有______个生成元.

7.在4次对称群S4中，(123)(1423)-1=______. 8.阶为n的有限循环群同构于______. 9.剩余类环Z11的零因子个数等于______. 10.剩余类环Z13的可逆元有______个.

11.如果G是一个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，元素a的阶只可能是______．

12.整环I＝｛所有复数a+b?7(a,b是整数)｝，则I的单位是______. 13.在3,i+2,π2中，______是有理数域Q上的代数元. 14.设Q是有理数域，则Q(2+5)=______.

i?215.i?1在实数域R上的极小多项式是______.

三、解答题（本大题共3小题，第16小题7分,第17,18小题各12分，共31分） 16.假定下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元．

o e a b c d e e a b c d b d c e a d e b 17.找出模15的剩余类环Z15的所有子环，这些子环是否都是Z15的理想？为什么？ 18.设Z是整数环，(2)∩(5)、(2,5)是Z的怎样的理想？(2)∪(5)是Z的理想吗？为什么？ 四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19.证明：循环群是交换群.

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20.在高斯整环Z［i］={a+bi｜a,b∈Z}中，证明：3是素元． 21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构． 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

１.设m是一个正整数，?a∈Z,作带余除法：a=mq+r,0≤r

4.在3次对称群S3中可以与(132)交换的所有元素为( )

A.(1)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123)，(132) D.S3中的所有元素

????a0????a,b?R,R为实数域5.M2(R)=???按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环,这个方阵?b0??????D.既不是满变换也不是单变换

B.适合结合律但不适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

环是( )

A.有单位元的交换B.无单位元的非交换环C.无单位元的交换环 D.有单位元的非交换环 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A的一一变换共有________个. 7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个. 8.在4次对称群S4中，(132)2(1234)-1=________. 9.模10的剩余类加群Z10有________个生成元. 10.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元. 11.模9的剩余类环Z9的零因子为________.

12.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(3,x)＝________． 13.主理想环与欧氏环的关系是________.

14.在5,2i+1,π中，________是有理数域Q上的代数元. 15.1?2在有理数域Q上的极小多项式是________．

三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分） 16.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集

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合的交∩是否构成群？试说明理由.

17.找出模20的剩余类环Z20的所有子环．并说明这些子环是否是Z20的理想，为什么？ 18.Z3={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z3的所有自同构，再找出域Z3的所有自同构. 四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分） 19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l1～l2?l1∥l2或l1=l2. 证明：关系～是A元间的等价关系.

20.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群.

??0a????0x?????a,b?Zx?Z21.设R=??关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=???， ?0b??00?????????证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？

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