近世代数一(3)

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9.e

2?i5在有理数域上的极小多项式是________。

三、(本大题共3小题，第1、2小题各10分，第3小题14分，共34分) 1.设群G的阶为4，且G中不含阶为4的元，试作出G的乘法表。 2.设3阶对称群S3={（1），（23），（13），（12），（123），（132）} （1）写出S3中每一个元素的阶； （2）找出S3的全部不变子群。 3.设R为剩余类环Z10 （1）写出Z10的所有零因子； （2）写出Z10的全部可逆元素； （3）找出Z10的所有理想子环。

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

1.设R={（a,b）|a,b为实数}关于如下定义的元素相等及两个代数运算作成环.?

（a,b）=(c,d) ?a=c,b=d (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

证明R关于这两个代数运算作成一个整环.

2.设H、K都是群G的子群，且H和K的阶分别为6和35. 证明H∩K={e}.

3.在高斯整数环Z［i］中，主理想（2+i）含有哪些元？

Z[i]含有哪些元？ (2?i)一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设A=R+（正实数域），B=R（实数域） Φ:a→lga ?a∈A 则Φ是从A到B的（ ） A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.设A={所有实数x}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律 B.不适合结合律但适合交换律 C.既适合结合律又适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（ ）

A.x→2x B.x→x2 C.x→-x D.x→3x 4.在3次对称群S3中，阶为2的元有（ ）

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A.0个 B.1个 C.2个 5.剩余类环Z8的子环有（ ）

D.3个

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分) 6.剩余类加群Z6有_______个生成元. 7.在5次对称群S5中，(251)(4513)-1=_______.

8.设循环群G＝(a),如果a的阶无限，则G同构于_______. 9.剩余类环Z7的零因子个数等于_______. 10.剩余类环Z6的可逆元有_______个. 11.域F的全部理想为_______.

12.整环I＝｛所有复数a+b?3(a,b是整数)｝，则I的单位是_______. 13.设Q是有理数域，则Q(i)=_______.

14.32在有理数域Q上的极小多项式是_______.

三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分） 15.在实数集R中定义二元运算“ｏ”如下：aｏb=a+b+ab(?a,b∈R),问R对运算“ｏ”是否

作成群？试说明理由.

16.找出模12的剩余类加群Z12的所有子群，并找出Z12的全部生成元.

17.设Z是整数环，(3)∩(7)、(3,7)是Z的怎样一个理想？(3)∪(7)是Z的理想吗？为什么？ 四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.证明：阶为素数的群一定是循环群.

19.若R是无零因子环，且R中的元素个数是大于1的有限数.证明：R是除环. 20.设A=Z×Z是关于以下定义的加法、乘法作成的环：

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，(a,b)(c,d)=(ac,bd), 令f：(a,b)|→a，

（1）证明：f是A到Z的一个同态满射. （2）求kerf.

（3）A/kerf是怎样的一个环？

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1.设A={a,b,c,d},则A的一一变换共有______个.( )

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A.4 B.16 C.24 D.64

2.设A={所有实数x}，A的代数运算a。b =a+b+ab( ) A.既适合结合律又适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律

B.适合结合律但不适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有有理数x}，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )

A.x→|x| B.x→2x C.x→x2

D.x→|x|

4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有______个.( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.设M2(R)=?????a0???a,b?R,R为实数域?按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，???0b??那么这个方阵环是( ) A.有单位元的交换环 C.无单位元的非交换环

B.无单位元的变换环 D.有单位元的非交换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分) 6.模8的剩余类加群Z8有__________个生成元. 7.若α=(123)(45),β=(2345),则βα-1=__________. 8.设循环群G=(a),如果a的阶为n,则G同构于__________. 9.整数环有__________个可逆元.

10.剩余类环Z5的零因子个数等于__________. 11.剩余类环Z6的子环有__________个.

12.整环I={所有复数a+b?5(a,b是整数)},则I的单位是__________. 13.设Q为有理数域,S={3,5},则Q(S)=__________. 14.

2i在有理数域Q上的极小多项式是__________. 2三、解答题(本大题共3小题，第15小题6分，第16小题14分，第17小题12分，共32分) 15.若A={a,b,c,d}对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A的代数运算表.

16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么?

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17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？ 四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分) 18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.

19.证明:阶为pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.

20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号a表示Zm中a所在的剩余类,［a］表示Zr中a所在的剩余类,令f:a［a］,证明:

(1)f是Zm到Zr的同态满射. (2)求ker f.

(3)Zm/ker f是怎样的环?

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？( ) A.关系～：a～b?a2+b2=1 B.关系～：a～b?a≤b C.关系～：a～b?a=2b

D.关系～：a～b?a=b

2.设A是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定σ( f (x))=(x2+1) f (x),?f (x)∈A, 则σ是A的( )

A.满变换 B.单变换 C.一一变换 D.不是A的变换

3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a ?b=(a+b)2，则这个代数运算( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是( )

A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法 C.全体实数对普通数的乘法 D.全体实数对普通数的除法

??ab????R????a,b?Z?00????，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( ) 5.设

A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

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7.在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.

8.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H (23)＝______． 9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______． 10.剩余类环Z15的可逆元有______个.

11.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的主理想(x2)＝______． 12.整环I＝｛所有复数a+b?2(a,b是整数)｝，则I的单位是______． ?2i?1???i?1??=______. 13.设Q是有理数域，则Q

14.2?3在有理数域Q上的极小多项式是______．

三、解答题（本大题共小3题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分） 15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并∪是否构成群？为什么？

16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元. ??a0?R????b0?????17.设

???00???a,b?Z?x?Z????x0???关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =???证明：I

是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.设G是一个群，?a∈G证明：a与a-1的阶相同.

19.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H = {A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群．

20.证明：一个域是一个欧氏环．

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．( ) A.4 B.8 C.12 D.16

2.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的( ) A.满变换 B.单变换 C.一一变换 D.不是A的变换 3.在有理数集Ｑ中的代数运算a?b=b2( )

A.适合结合律但不适合交换律 B.不适合结合律但适合交换律 C.既适合结合律又适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

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