第3篇 数论篇
第21章 十进制整数
23.1 整数N满足10＜N＜100，交换N的各个数字的位置后，所得的数比原数小18，这样的整数N的个数是（ ）
（A） 2 （B） 3 （C） 7 （D） 8
21.2 若n 是正整数，则n9999
–n
5555
的末位数字（ ）
（A） 恒为0 （B） 有时为0 ，有时非0 （C） 与n的末位数字相同 （D） 无法确定
21.3 有一串数：1，2，3，4，?，2004
2
３
４
２００４
，2005
２００５
，2006
２００６
.大明从左往右依次计
算前面1003个数的末位数字之和，并且极为a ，小光计算剩下的1003个数的末位数字之和，并且记为b，则a－b＝（ ）
（A）－3 （B）2 （C）－5 （D）5
21．4符号Rk表示一个k位整数，在它的十进制表示中，k位数各位数字为1，
例如R3=111，R5=11111，等等.用R24除以R4，商Q=各位数字或为1或为0，在Q中0的个数是（ ）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
21.5 一个三位数等于它的三个数字的和的半的立方，则此三位数是 . ★ 21.6设(abc)是一个各位数字互不相同的三位数.如果(abc)等于它的各位 数字之和的k倍,那么将(abc)的各位数字都变动了位置的所有新数之和等于(abc) 的各位数字之和 倍.
★★ 21.7 某三位数,如果它本身增加3,那么新三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的1，所有这样的三位数之和是 . 3R24是一个整数，在Q的十进制表示中，R4★★21.8 设an表示7的末两位数，则a1＋a2＋?＋a1997= .
★ 21.9 1,2,3, ?,123456789的和的个位数字是 . 21.10用十进制表示7
1996
2
2
2
2
n,则其末三位数字为 .
3
3
★21.11 a是大于0的整数,a与a的个位数字一样,例如4=64与4的个 位数字一样.这样的整数a有很多,如果把它们从小到大排列，那么第41个这样的
1
整数是 .
21.12 设n=3×7×11×15×19×?×2003，求n的末位三位数.
21.13 将一个三位数的数字重新排列，所得的最大三位数减去最小的三位数正好等于原数，求这个三位数.
21.14 “幸运数”是指一个等于其各位数码（十进制）和的19倍的正整数，求出所有的幸运数. 21.15 设n 为正整数，试证：在n或3n 的十进制的各位数字中，至少会出现一个数字1、2或9 .
21.16 用十进制表示某些自然数等于它的各位数字之和的16倍，求所有这样的自然数之和. 21.17 已知正整数N的各位数字之和为100，而5N的各位数字之和为60 ，证明：N是偶数. 21.18 一个十进制的四位整数小于3000，它的数字之和是11，当它用五进制表示的时候，各位数字之和等于9；用六进制表示的时候，各位数字之和等于14；用八进制表示的时候，各位数字之和等于14 ，问：这个整数十多少？
21.19 解方程：（求x，y，z）：xyzgzyx?xzyyx
21.20 在一种室内游戏中，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数acb，bac，bca，cab，cba并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师能说出原数是什么，如果N=3194 ，请你确定abc.
21.21 把一个四位数的各个数字按反序排列成一个新的四位数，新数正好是原数的四倍，求原数.
21.22 试求一个四位数xxyy，使它恰好等于两个相同自然数的乘积.
21.23 试求出两个三位数，使得其余所有的三位数之和是这两个三位数之一的600倍.
2
21.14 一个正整数，如果它的各位数字之和再加上它的各位数字之积恰好与次数相等，这样的正整数我们叫作巧数，例如29=（2＋9）＋（2×9）就是一个巧数，试求两位数中的所有巧数，在三位数中有无巧数？ 如果有，有几个？ 如果无，证明你的结论.
21.25 设n是整数，如果n2
的十位数字是7，那么n2
的个位数字是几？ 21.26 试证明：若一个完全平方数的各位数字是6，则它的十位数字一定是奇数. 21.27 试找出所有这样的正整数a：其末位数字是4 ，而其各位数字的平方和不小于a . 21.28 一个自然数乘以874 ，得到的结果是以92结尾的五位数，求数n. 21.29 求证：如果n是正奇数，那么数A=22n（2
2n＋1
－1）在十进制中的最末位数为28.
21.30 已知m 是正整数，求证：410m?4是无理数.
3
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