第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－
32
B.3 C.－12
D.12
2
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20° sin 10°＝sin 30°＝1
2. 答案 D
2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D
3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－1
3，则sin 2α＝( )
A.－310 B.31010
10
C.－35
D.35
解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－1
3，
所以sin α＝1010，cos α＝－31010
， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×???－310?3
10??
＝－5，故选C. 答案 C
4.(2017·河南六市联考)设a＝12cos 2°－32tan 14°
2sin 2°，b＝1－tan2
14°
，1－cos 50°
2，则有( ) A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°， ∴c＜a＜b. 答案 D
＝c
π?3?5.(2016·铜川三模)已知sin α＝且α为第二象限角，则tan?2α＋?＝( ) 4?5?19
A.－
5
5B.－ 19
31 C.－ 17
17 D.－ 31
424
解析 由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，
52572
cos 2α＝2cosα－1＝.
25
π24
tan 2α＋tan－＋1
47π?2417?∴tan 2α＝－，∴tan?2α＋?＝＝＝－. 4?7π31??24?1－tan 2αtan1－?－?×1
4?7?答案 D 二、填空题
π?1π???6.(2016·安庆模拟)若cos?α－?＝，则sin?2α－?的值是________.
3?36???π?π?π????解析 sin?2α－?＝sin?2?α－?＋?＝ 3?2?6????π?π?17?2?cos 2?α－?＝2cos?α－?－1＝2×－1＝－. 3?3?99??7
答案 －
9
?π3π??π??π?3
7.(2017·南昌一中月考)已知α∈?，?，β∈?0，?，且cos?－α?＝，
4?4??4??4?5
12?5?sin?π＋β?＝－，则cos(α＋β)＝________.
13?4?
?π3π??π
解析 ∵α∈?，?，cos?－α
4??4?4
∴sin?
?＝3，
?5?
?π－α?＝－4，
?5?4?
12?5??π?12
∵sin?π＋β?＝－，∴sin?＋β?＝，
13?4??4?13
?π??π
又∵β∈?0，?，∴cos?＋β
4???4?＝5，
?13?
33??π??π??35412
∴cos(α＋β)＝cos??＋β?－?－α??＝×－×＝－.
65??4??4??51351333
答案 －
65
π?2?π??8.已知θ∈?0，?，且sin?θ－?＝，则tan 2θ＝________.
2?4?10??π?21?解析 sin?θ－?＝，得sin θ－cos θ＝，① 4?105?
247?π?θ∈?0，?，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝， 2?255?4342tan θ24
∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－. 2
5531－tan θ724
答案 －
7三、解答题
sin θ－cos θ
(1)若a⊥b，求的值；
sin θ＋cos θ
π??π??(2)若|a－b|＝2，θ∈?0，?，求sin?θ＋?的值.
2?4???解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，
sin θ－cos θ2cos θ－cos θ1
所以＝＝.
sin θ＋cos θ2cos θ＋cos θ3(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a－b|＝（cos θ－2）＋（sin θ＋1）＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0.
2
2
?π?22
又cosθ＋sinθ＝1，且θ∈?0，?，
2??
34
所以sin θ＝，cos θ＝. 55
π?22?34?72?所以sin?θ＋?＝(sin θ＋cos θ)＝?＋?＝. 4?22?55?10?10.设cos α＝－513ππ
，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值. 5322
53π25
，π<α<，得sin α＝－，tan α＝2，又tan β＝525
解 法一 由cos α＝－1
， 3
tan α－tan β
于是tan(α－β)＝＝1＋tan αtan β3π
又由π<α<，
2
＝1. 11＋2×
3
12－3
πππ3π0<β<可得－<－β<0，<α－β<，
22225π因此，α－β＝. 4法二 由cos α＝－
53π25，π<α<得sin α＝－. 525
1π13
由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.
321010所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ 25??1??25??3??
?－???－?－???＝－2. ?5??10??5??10?
3ππππ3π5π
又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
222224π2π?23π?＝( )
11.(2016·陕西统一检测)cos·cos·cos?－
9?99??1
A.－
8
1B.－ 16
C.1 16
1D. 8
π2π?23?解析 cos·cos·cos?－π?＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°· 99?9?sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
cos 40°·cos 80°＝－
sin 20°1
sin 40°·cos 40°·cos 80°2＝－ sin 20°
111sin 80°·cos 80°sin 160°sin 20°4881＝－＝－＝－＝－.
sin 20°sin 20°sin 20°8答案 A
12.(2017·上饶调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A.[－2，1] C.[－1，1]
B.[－1，2] D.[1，2]
解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，
0≤α≤π，??ππ
∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由??≤α≤π， π
220≤β＝α－≤π?2?π??∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin?2α－α＋?＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋
2??π?π?π3ππ5??sin α＝2sin?α＋?，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤2sin?α＋?4?4?2444??≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C. 答案 C
π?2?π??44
13.已知cosα－sinα＝，且α∈?0，?，则cos?2α＋?＝________.
2?3?3??
2442222
解析 ∵cosα－sinα＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝cos 2α＝，又
35?π?2α∈?0，?，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos2α＝，
2?3?π?1312352－15?∴cos?2α＋?＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝. 3?2223236?答案
2－15 6
π
14.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出
3一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上， 设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式. (2)求S的最大值及相应的θ角.
解 (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形. 由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－
3· 3
33
QE＝PD，MN33
33??
sin θ，S＝MN·PD＝?cos θ－sin θ?·sin θ＝sin 33??
θcos θ－
?π?2
sinθ，θ∈?0，?.
3??
13
(2)由(1)得S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)
26
π?13333?＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin?2θ＋?－，
6?62663?
π??1?π?π5π??π??因为θ∈?0，?，所以2θ＋∈?，?，sin?2θ＋?∈?，1?.
3?6?6??2?6?6??π32
当θ＝时，Smax＝(m).
66
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