江苏省南京市2018届高三上学期期初学情调研考试数学Word版含答案(2)

D．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答．．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD

＝1．

π

（1）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；

3（2）求二面角B－PD－A的余弦值．

23．（本小题满分10分）

袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编

号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球． （1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；

（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分

布与数学期望．

B （第22题） A D C

P

南京市2018届高三年级学情调研

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）

1

1．{0，2} 2．7 3．16 4．－2 5．

26．3 7． 6 8．18? 9．－1 10．6 14

11．(－∞，2] 12． 13．－ 14．[0，2]∪[3，8]

33

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1?平面ABC． A1 A

因为AE?平面ABC，

所以CC1?AE． ……………2分

F 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE?BC． C1 C

因为BC?平面B1BCC1，CC1?平面B1BCC1，

E 且BC∩CC1＝C，

B1

B

所以AE?平面B1BCC1． ………………5分 (第15题） 因为AE?平面AB1E，

所以平面AB1E?平面B1BCC1. ……………………………7分 （2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，

所以F为A1B的中点． ……………………………9分 又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C． ……………………………11分 因为EF?平面AB1E，A1C?平面AB1E，

所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1

a2＋c2－b244

在△ABC中，因为cosB＝，所以＝． ………………………2分

52ac5c

()2＋c2－b224b29

因为c＝2a，所以＝，即2＝，

c5c202c×

2

b35所以＝． ……………………………4分

c10sinBb

又由正弦定理得＝，

sinCc

sinB35所以＝． ……………………………6分

sinC10解法2

43

因为cosB＝，B∈(0，?)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………………2分

55因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA， 68

所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，

55

即－sinC＝2cosC． ………………………4分 25

又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，

5sinB35所以＝． ………………………6分

sinC1047

（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝． …………………………8分

525

3

又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，

5

3424

所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝． …………………………10分

5525ππ3π

因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，

4443π

所以sinA＝sin(－2B)

4

3π3π

＝sincos2B－cossin2B ………………………………12分

44 ＝

27224×－(－)× 225225

312

＝． …………………………………14分

50

17．（本小题满分14分）

9000解：（1）因为t1＝， ………………………2分

x

t2＝

30001000

＝ ， ………………………4分

3(100－x)100－x

90001000

所以f(x)＝t1＋t2＝＋， ………………………5分

x100－x定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． ………………………6分 9191

（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)]( ＋)

x100－xx100－x

9(100－x)x

＝10[10＋＋ ]． ………………………10分

x100－x9(100－x)x

因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，

x100－x9(100－x)x

所以＋ ≥2

x100－x

9(100－x)x

?＝6， …………………12分 x100－x

9(100－x)x

当且仅当＝，即当x＝75时取等号． …………………13分

x100－x答：当x＝75时，f(x)取得最小值． ………………………14分

18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C的离心率为

3

，所以a2＝4b2． ………………………2分 2

3

314

又因为椭圆C过点(1，)，所以2＋2＝1， ………………………3分

2ab解得a2＝4，b2＝1．

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1． ………………………5分

4（2）解法1

x02

设P(x0，y0)，－2＜x0＜2， x0≠1，则＋y02＝1．

4

因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)， 所以2－x0＝m． ………………………7分 y0由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，

x0＋2

y0(m＋2)y0(m＋2)

令x＝m，得y＝，即M(m，)．

x0＋2 x0＋2

因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

y0(m＋2)

x0＋2y

所以kPB·kMB＝0·＝－1， ………………………10分

x0－1 m－1y02（m＋2）即＝－1． (x0－1)( x0＋2)( m－1)

x02( x－2)(m＋2)因为＋y02＝1．所以0＝1． ………………………12分

44(x0－1) ( m－1)因为x0＝2－m ，所以化简得3m2－10m＋4＝0，

5±13

解得m＝． ………………………15分

35＋13

因为m＞2，所以m＝． ………………………16分

3解法2

①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，

??x＋y2＝1，联立?4消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．

??y＝k(x＋2)，

－8k2＋24k因为xA＝－2，所以xP＝2，所以yP＝2，

4k＋14k＋1

－8k2＋24k

所以P(2，2)． ………………………8分

4k＋14k＋1－8k2＋216k2

因为PN的中点为B，所以m＝2－2＝．(*) ……………………10分

4k＋14k2＋1因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，

－8k2＋21

因为直线PB与x轴不垂直，所以2≠1，即k2≠，

124k＋14k

4k2＋1－4kk(m＋2)

所以kPB＝＝2，kMB＝． 2－8k＋212k－1m－1

－1

4k2＋1因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

－4kk(m＋2)所以2·＝－1．（**） ………………………12分

12k－1m－1将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，

4±1316k25±13解得k＝，所以m＝2＝． ………………………15分

1234k＋1

2

2

5＋13

又因为m＞2，所以m＝． ………………………16分

3

19．（本小题满分16分）

解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，

所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f ′(0)＝6a，

1

所以6a＝3，所以a＝． ………………………2分

2（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，

2lnx

所以－(a＋1)≥2． ………………………4分

x2(1－2lnx)2lnx

令g(x)＝2，x＞0，则g?(x)＝．

xx3令g?(x)＝0，解得x＝e．

当x∈(0，e)时，g?(x)＞0，所以g(x)在(0，e)上单调递增；

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