中考题数学分类全集69

18.（本题10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC,A交BC于点E,AE=2，ED=4, (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长；

(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.

AF

CBE

O D

（第18题图）

18、.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D,

又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB, …………………………………3分 (2)∵△ABE∽△ADB,∴

ABAE，∴AB2?AD?AE?(AE?ED)?AE?(2?4)?2=12， ?ADAB∴AB=23. …………………………………6分 (1) 直线FA与⊙O相切，理由如下:

连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°， ∴BD?BF=BO=

AB2?AD2?12?(2?4)2?43，

1BD?23, 2∵AB=23,∴BF?BO?AB,可证∠OAF?90o，

∴直线FA与⊙O相切 . …………………………………10分 9、（2011?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（ ）

A、

B、1

C、2

D、3

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：计算题。

分析：连接OD，设⊙O的半径为r，可证得△COD∽△CAE，则CD：DE的值．

解答：解：如图，连接OD，

=

=

=，从而得出

∵AB是⊙O的直径，BC=OB， ∴OA=OB=BC，

∵CE是⊙O的切线， ∴OD⊥CE， ∵AE⊥CE， ∴OD∥AE，

∴△COD∽△CAE， ∴∴

=

=，

=2．

故选C．

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 22、（2011?随州）如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E． （1）求证：△ABD为等腰三角形． （2）求证：AC?AF=DF?FE．

考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。 分析：（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；

（2）由BC=AF推出CD=DF和∠CDB=∠ADF，证△CDA≌△FDB，得到AC=BF，根据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆，推出∠FAE=∠BDF和∠EFA=∠DFB，证△DBF∽△AEF，得到=

即可推出答案．

解答：（1）证法一：连CF、BF，

∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB， 而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA， ∴∠DAB=∠DBA，

∴△ABD为等腰三角形．

证法二：由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA， 又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°， ∴∠MCD=∠DAB，

∴∠DAB=∠DBA即△． ABD为等腰三角形．

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC， ∴弧CD=弧DF，∴弧CD=弧DF…①

又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF， 而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA， 同理∠DCA=∠AFE

∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE， ∴△CDA∽△FAE，

∴，即CD?EF=AC?AF，又由①有AC?AF=DF?EF命题即证 点评：本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键． 8、（2011?黑河）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为

．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；相交弦定理。 专题：计算题。

分析：可证明△ABE∽△ADB，则

=

，则AB=AD?AE，由AE=3，ED=4，即可求得AB．

2

解答：解：∵AB=AC，∴∠ABE=∠ADB， ∴△ABE∽△ADB，则即AB=AD?AE， ∵AE=3，ED=4， ∴AB=

=

=

．

2

=，

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理，是基础知识要熟练掌握． 27．（11·贺州）（本题满分8分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D． 锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于

点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长． 【答案】解：(1)连接OC

∵CD切⊙O于点C， ∴OC⊥CD

A ·O D C B

(第25题图) 又∵AD⊥CD ∴OC∥AD ∴∠OCA＝∠DAC ∵OC＝OA ∴∠OCA＝∠OAC ∴∠OAC＝∠DAC

∴AC平分∠DAB ??????3

分

（2）解：点O作线段AC的垂线OE如图所示 （3）解：在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，

∴

AD

＝

AC2－CD2＝

(45)2－42

＝

8 ??????6分

∵OE⊥AC ∴

AE

＝

12

AC

＝

25 ??????7分

∵∠OAE＝∠CAD ∠AEO＝∠ADC ∴△AEO∽△ADC ∴

OECD

＝

AE

AD ??????8分

AE25

∴OE＝AD×CD＝8×4＝5 即

垂

线

段

OE

的

长

为

5 ??????9分

8、（2011?黑河）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为

．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；相交弦定理。 专题：计算题。

分析：可证明△ABE∽△ADB，则

=

，则AB=AD?AE，由AE=3，ED=4，即可求得AB．

2

解答：解：∵AB=AC，∴∠ABE=∠ADB， ∴△ABE∽△ADB，则即AB=AD?AE， ∵AE=3，ED=4， ∴AB=

=

=

．

2

=，

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理，是基础知识要熟练掌握． 24、（8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，

DBDC2??. DPDO3[来源:学。科。网]（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值

BPDCOA

24、（1）证明：连接OB、OP ?????????????????????（1分）

∵

DBDC2?? 且∠D=∠D ∴ △BDC∽△PDO DPDO3∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥OP ∴ ∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP ∵ OB=OC ∴ ∠OCB=∠CBO ∴ ∠BOP=∠POA

又∵ OB=OA OP=OP ∴ △BOP≌△AOP ∴ ∠PBO=∠PAO 又∵ PA⊥AC ∴ ∠PBO=90°

∴ 直线PB是⊙O的切线 ?????????????（4分） （2）由（1）知∠BCO=∠POA 设PB?a，则BD?2a

又∵ PA?PB?a ∴ AD?22a 又∵ BC∥OP ∴

DC?2 CO1∴ DC?CA??22a?2a ∴ OA?2a ∴ OP?6a

222∴ cos∠BCA=cos∠POA=3 ?????????????????（8分）

324、如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB的延长线交与点

F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC． （1）求证：CF是⊙O的切线；

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