苏州市2018届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2018．1
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 ? 第14题）、解答题（第15题 ? 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 参考公式：球的表面积公式S=4πr2，其中r为球的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 已知i为虚数单位，复数z?33?i的模为 ▲ ． 222． 已知集合A?{1,2a}，B?{?1,1,4}，且A?B，则正整数a? ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2??8x的焦点坐标为 ▲ ． 4． 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5
分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 ▲ ．
5． 已知4?2，logax?2a，则正实数x? ▲ ．
6． 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中
提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法． 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别 为3，3，则输出v的值为 ▲ ．
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a开始 输入n,x v?1，i?n?1 v?vx+i i?i?1 i＜ 0 Y 输出v 结束 （第6题图） N
?0≤x≤3,?7． 已知变量x，y满足?x?y≥0,则z?2x?3y的最大值为 ▲ ．
?x?y?3≤0,?8． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且
S61915则a3的值为 ▲ ． ??，a4?a2??，
S3889． 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的
榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯 起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁
班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ▲ ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）
10．如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑
物CD的张角?CAD?45?，则这两座建筑物AB和CDC 的底部之间的距离BD? ▲ m．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2,?1)的圆C和直
线 x ? y ? 1相切，且圆心在直线 y ? ?2x 上，则圆C的D 标准方程为 ▲ ． 12．已知正实数a，b，c满足
（第10题图） （第9题图） A
B
1111??1，??1，则c的取值范围是 ▲ ． aba?bcA E P B C
（第13题图） F 13．如图，△ABC为等腰三角形，?BAC?120?，
AB?AC?4，以A为圆心，1为半径的圆分
?上的别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧EF????????一点，则PB?PC的取值范围是 ▲ ．
14．已知直线y＝a分别与直线y?2x?2，曲线y?2ex?x交于点A，B，则线段AB长度
的最小值为 ▲ ．
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?(3cosx?sinx)2?23sin2x．
（1）求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；
????（2）若x???,?，求函数f(x)的单调增区间．
?22?
16．（本小题满分14分）
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点． （1）求证：EF∥平面ABHG； （2）求证：平面ABHG⊥平面CFED．
17. （本小题满分14分）
如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨C 公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（???≤北 东
P θ B A
A A1
G E B1
H
D1
F C1
D B C
π，21其中锐角?的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽
2车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h. （1）试建立由A经P到C所用时间与?的函数解析式； （2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．
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18．（本小题满分16分）
2x2y2在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆上动ab2点P到一个焦点的距离的最小值为3(2?1)． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点M(0,?1)的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
19. （本小题满分16分）
已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn． （1）若Sn?Sn?12an?2?（n?N*，n≥2），且a1?2．
3y B O M A x ① 求数列{an}的通项公式；
② 若Sn≤??2n?1对任意n?N*恒成立，求实数?的取值范围；
（2）数列{an}是公比为q（q＞0， q?1）的等比数列，且{an}的前n项积为10Tn．若．存在正整数k，对任意n?N*，使得
20. （本小题满分16分）
32???x?x,x?0,已知函数f(x)??x
e?ax,x≥0.??T(k?1)nTkn为定值，求首项a1的值．
（1）当a?2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若方程f(?x)?f(x)?ex?3在区间(0,+?)上有实数解，求实数a的取值范围；
1，（3）若存在实数m,n?[0,2]，且|m?n|≥使得f(m)?f(n)，求证：1≤
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a ≤e．
e?1
苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案
一、填空题（共70分） 1．3 2．2
3．(?2,0)
4．
11 5．
210436．48 7．?9 8．
9 414．
9．30?
10．18 11．(x?1)2?(y?2)2?2 二、解答题（共90分）
12．(1,] 13．[?11,?9]
3?ln2 215. 解（1）f(x)?(3cosx?sinx)2?23sin2x
?3cos2x?23sinxcosx?sin2x?23sin2x 3(1?cos2x)1?cos2x··················································· 2分 ???3sin2x ·
22?·········································· 4分 ?cos2x?3sin2x?2?2cos(2x?)?2． ·
3??当2x??2k???，即x?k??(k?Z)时，f(x)取得最小值0．
33???此时，f(x)取得最小值时自变量x的取值集合为?xx?k??,k?Z?．
3?? ····································································································· 7分
（注：结果不写集合形式扣1分）
?（2）因为f(x)?2cos(2x?)?2，
3?令??2k?≤2x?≤2??2k?(k?Z)， ··············································· 8分
3???解得?k?≤x≤?k?(k?Z)， ······················································ 10分
36??????????又x?[?,]，令k??1，x???,??，令k?0，x??,?，
?26??32?22??????????所以函数在[?,]的单调增区间是??,??和?,?． ························ 14分
?26??32?22（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16. 证明：（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，所以EF∥A1B1， D1 C1
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B1∥AB， （注：缺少A1B1∥AB扣1分）
所以EF∥AB． ········································ 3分 又EF?平面ABHG，AB?平面ABHG， （注：缺少AB?平面ABHG不扣分）
所以EF∥平面ABHG． ······························· 6分 （2）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，CD ?平面BB1C1C，
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A E A1
G D B B1 P H C F
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