天津大学《最优化方法》复习题(含答案)(2)

二、证明题

1 设f:Rn?R为一阶连续可微的凸函数，x?R且?f(x?)?0，则x为

?n?minx?Rnf(x)的全局极小点.

n2 给定b?R和正定矩阵G?Rn?n. 如果xk?Rn为求解

1TxGx?bTx的迭代点， dk?Rn\\?0?为其迭代方向，且2minx?Rnf(x)???f(xk)Tdk?k?[0,??)为由精确一维搜索所的步长，则?k?.

(dk)TGdk3 试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.

四、 简述题

1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点. 2 简述共轭梯度法的基本思想.

五、 计算题

1 利用最优性条件求解无约束最优化问题.

312?x1x2?2x1 例如：求解minf(x)?x12?x2222 用FR共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1.

3 用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.

见书本：例3.4.1. 例如：minf(x)?

3212x1?x2?x1x2?2x1 其中x0?(0,0)T,??0.01 22第四章 约束最优化方法

考虑约束最优化问题：

(NLP)minf(x)s.t.ci(x)?0,ci(x)?0,i?E??1,2,?,l?,i?I??l?1,l?2,?,m?,

其中，f,ci(i?1,2,?,m):Rn?R.

一、判断与选择题

1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT. ×

2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往

不是（NLP）的可行解. ×

3 在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数

为 .

4 在（NLP）中l?0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数

为 .

5 在（NLP）中l?0，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为

1,?,m?. (?k?1)i? ，对i??

6 在（NLP）中m?l，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数

为：_________________________________

7 对于(NLP)的KT条件为：_______________

二、计算题

1 2

利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题.

用外罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.1；

例4.2.2.

3 用内罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.3.

4 用乘子法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.7；

例4.2.8.

三、简述题

1 简述SUMT外点法的优缺点.

2 简述SUMT内点法的优缺点.

四、证明题

利用最优性条件证明相关问题.

例如：Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划

(P) minf(x)?1?xQx?c?x?a 2 s.t. A?x?b的最优解，并证明解是唯一的.

第五章 多目标最优化方法

一、判断与选择题

1 求解多目标最优化问题的评价函数法包

括 .

2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题. √

3 设F:D?Rn?Rm，则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式

为 .

4 对于规划V?minF(x)?(f1(x),?,fm(x))T，设x??D，若不存在x?Dx?D?Rn使得F(x)?F(x?)且F(x)?F(x?)，则x?为该最优化问题的有效解. √

5 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解. √

6 对于规划V?minF(x)?(f1(x),?,fm(x))T，设wi为相应于

x?D?Rn则求解以上问题的线性加权和法中所求解优fi(i?1,2,?,m)的权系数，

化的目标函数为 .

7 利用求解V?minF(x)?(f1(x),?,fm(x))T的线性加权和法所得到的

x?D?Rn解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解. √

二、简述题

1 简单证明题

☆ 绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系. ? 第5.2节中几个主要结论的证明.

2 简单叙述题

★ 简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想. ? 简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想. ★ 简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.

? 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的

基本思想.

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